Задачи на смешивание растворов

Массовая доля растворённого вещества — это отношение массы вещества к массе всего раствора: w = m(в-ва) / m(р-ра). Её выражают в долях единицы или в процентах. При смешивании растворов одного вещества массы растворённого вещества складываются, массы растворов тоже, а массовые доли напрямую не складываются никогда.

Смешивание сводится к одной формуле

Пусть смешали раствор массой m₁ с долей w₁ и раствор массой m₂ с долей w₂. Вещества в смеси m₁w₁ + m₂w₂, раствора m₁ + m₂. Новая доля:

w₃ = (m₁w₁ + m₂w₂) / (m₁ + m₂)

Эта формула покрывает почти все случаи, которые встречаются в школьных задачах и в расчётной части ЕГЭ, если помнить два частных значения доли. Вода — раствор с долей 0. Сухое вещество — «раствор» с долей 1, то есть 100 %. При упаривании воду вычитают из массы раствора, а масса вещества не меняется.

Физиологический раствор — 0,9-процентный раствор NaCl. Если разбавить его водой вдвое по массе, соли останется столько же, а доля упадёт до 0,9 / 2 = 0,45 %. Меняется только вода.

Задача 1. Смешали 200 г 10-процентного и 300 г 20-процентного раствора хлорида натрия. Вычисли массовую долю соли в полученном растворе.

1. m₁(NaCl) = 200 · 0,1 = 20 г.

2. m₂(NaCl) = 300 · 0,2 = 60 г.

3. Соли всего 20 + 60 = 80 г, раствора 200 + 300 = 500 г.

4. w = 80 / 500 = 0,16.

Ответ: 16 %.

Проверь ответ на здравый смысл. Он лежит между 10 % и 20 % и ближе к 20 %, ведь 20-процентного раствора взяли больше.

Усреднять проценты при смешивании нельзя

• ❌ Смешали 10-процентный и 20-процентный растворы, получили 15 %. ✅ Так выйдет, только если массы растворов равны; в задаче 1 ответ 16 %.

• ❌ При разбавлении водой масса вещества уменьшается. ✅ Вещество остаётся тем же, растёт только масса раствора.

• ❌ Медный купорос считают безводным CuSO₄. ✅ В 250 г CuSO₄·5H₂O только 160 г сульфата меди, остальное — вода, которая уйдёт в раствор.

• ❌ Миллилитры раствора подставляют вместо граммов. ✅ Объём переводят в массу через плотность: m = ρ · V.

Серную кислоту разбавляют, вливая её в воду

Концентрированная серная кислота при смешивании с водой сильно разогревается. Поэтому порядок строгий: кислоту льют в воду. Наоборот нельзя.

Задача 2. Вычисли массу воды, которую нужно добавить к 50 г 98-процентной серной кислоты, чтобы получить 10-процентный раствор.

1. m(H₂SO₄) = 50 · 0,98 = 49 г, при разбавлении она не меняется.

2. Масса нового раствора: 49 / 0,1 = 490 г.

3. m(воды) = 490 − 50 = 440 г.

Ответ: 440 г воды.

Упаривание и добавление соли решают той же формулой

Из 300 г 15-процентного раствора выпарили 100 г воды. Соли было 300 · 0,15 = 45 г, и при кипячении она никуда не делась, а раствора стало 300 − 100 = 200 г. Новая доля 45 / 200 = 0,225, то есть 22,5 %.

С добавлением соли наоборот: растут обе массы. Если в 200 г 10-процентного раствора добавить 50 г той же соли, вещества станет 200 · 0,1 + 50 = 70 г, раствора 200 + 50 = 250 г, доля 70 / 250 = 0,28. Многие забывают прибавить эти 50 г к массе раствора. Получают 35 %. Это ошибка.

В условиях ЕГЭ раствор нередко задан объёмом и плотностью. Тогда первым действием находят массу: 250 мл раствора плотностью 1,2 г/мл весят 1,2 · 250 = 300 г, и дальше всё считают в граммах.

Правило креста ускоряет подбор пропорций

Когда нужно получить раствор заданной концентрации из двух готовых, удобна диагональная схема, её называют правилом креста или конвертом Пирсона. Слева пишут доли исходных растворов, в центре — нужную, по диагоналям вычитают меньшее из большего.

Пусть из 40-процентного и 10-процентного растворов нужен 20-процентный. Для крепкого раствора берут 20 − 10 = 10 частей, для слабого 40 − 20 = 20 частей. Отношение масс 10 к 20, то есть 1 к 2: на 100 г 40-процентного раствора нужно 200 г 10-процентного.

Проверка формулой: (100 · 0,4 + 200 · 0,1) / 300 = 0,2. Сходится.

Кристаллогидрат считают раствором с известной долей

Медный купорос CuSO₄·5H₂O — синие кристаллы, а безводный CuSO₄ белый. Молярная масса CuSO₄ равна 160 г/моль, у купороса 160 + 5 · 18 = 250 г/моль. Значит, массовая доля сульфата меди в кристаллах 160 / 250 = 0,64. Купорос ведёт себя в расчёте как 64-процентный «раствор», и вода из кристаллов уходит в общий раствор.

Задача 3. Вычисли массы медного купороса CuSO₄·5H₂O и воды, необходимые для приготовления 400 г 8-процентного раствора сульфата меди(II).

1. m(CuSO₄) = 400 · 0,08 = 32 г.

2. n(CuSO₄) = 32 / 160 = 0,2 моль, купороса столько же.

3. m(CuSO₄·5H₂O) = 0,2 · 250 = 50 г.

4. m(воды) = 400 − 50 = 350 г.

Ответ: 50 г купороса и 350 г воды.

Если растворы реагируют, из массы вычитают газ и осадок

Формула смешивания работает, пока вещества друг с другом не реагируют. Слил раствор соды Na₂CO₃ с соляной кислотой, и картина другая: Na₂CO₃ + 2HCl → 2NaCl + H₂O + CO₂↑. Углекислый газ улетает. Раствор становится легче суммы исходных.

Масса раствора после реакции равна сумме масс смешанных растворов минус масса газа и минус масса осадка. Пусть смешали 100 г раствора соды и 100 г кислоты, а выделилось 0,1 моль CO₂ (M = 44 г/моль). Тогда раствора осталось 100 + 100 − 0,1 · 44 = 195,6 г. Именно на эту массу делят массу NaCl, когда ищут его долю.