Введение

Все мы помним, что такое прямой угол. Этот угол встречается как в математике, так и в повседневной жизни. Если взглянуть на квадрат, можно заметить, что его стороны образуют прямой угол друг с другом. Аналогичная ситуация наблюдается на железной дороге: рельсы располагаются перпендикулярно шпалам, а стены здания обычно ставят под прямым углом по отношению к фундаменту.

Перпендикулярность в геометрии

В математике существует специальный символ, обозначающий пересечение под прямым углом. Такие линии называются перпендикулярными. Обычно это отмечают следующим образом: ⊥. Читается: «перпендикулярно к».

Прямые линии, если их продлить до бесконечности, могут быть перпендикулярными, но то же понятие применяется и к отрезкам. Отрезки станут перпендикулярными, если прямые, которые их содержат, пересекаются под прямым углом. Это легко понять, рассматривая квадрат: прямые, определяющие его соседние стороны, перпендикулярны, следовательно, и его стороны находятся в таком же отношении.

На изображении 1 показаны такие отрезки. Почему они считаются перпендикулярными? Если продлить отрезки до прямых, те пересекутся под углом 90 градусов. Значит, и отрезки, атомы не пересекаются, перпендикулярны. (См. Рис. 1 и Рис. 2.)

Лучи, как и отрезки, будут перпендикулярными, если прямые, от которых они отходят, перпендикулярны друг другу. (См. Рис. 3 и 4.)

Как построить перпендикулярные прямые

Есть несколько методов:

1. Используя чертежный угольник, так как его стороны образуют прямой угол.
2. С помощью транспортира – отложите угол 90 градусов и постройте прямые, соответствующие этому углу.
3. Применяя циркуль и линейку (этот метод вы изучите в седьмом классе).

Преимущество выделения перпендикулярных прямых

Почему обращают внимание именно на такие линии? Дело в том, что при пересечении линии могут образовать углы разной величины. Однако только в случае перпендикулярных прямых все углы будут одинаковыми – по 90 градусов. (См. Рис. 5 и Рис. 6.)

Вопросы по перпендикулярным линиям

1. На заданной прямой есть точка. (См. Рис. 7.) Сколько можно провести через неё прямых, перпендикулярных исходной? Ответ: одну. Для этого просто приложите угольник и проведите прямую. (См. Рис. 8.)

1. Если есть точка вне прямой, сколько прямых можно провести через неё так, чтобы они перпендикулярны данной? Ответ: одна. Это также делается с угольником. (См. Рис. 9 и Рис. 10.)

Параллельность прямых

Помимо пересекающихся прямых, бывают линии, которые не пересекаются. Например, лыжные трассы, дорожки в бассейне или рельсы на железной дороге – они остаются непересекающимися. Такие прямые называют параллельными.

Важно упомянуть, что это верно для плоскости. В дальнейшем вы узнаете о случаях, когда в пространстве прямые могут не пересекаться и не быть параллельными. Сейчас же мы говорим о плоскости, где прямые либо пересекаются, либо являются параллельными.

Пересечение с параллельными отрезками и лучами аналогично. Если отрезки или лучи на параллельных прямых, они также параллельны. (См. Рис. 11.)

Вопросы по параллельным прямым

Если отрезки не пересекаются, означают ли они, что они параллельны? Нет, не обязательно. Например, если прямые, содержащие эти отрезки, пересекаются, то они не параллельны. Тот же принцип применяется к лучам.

Построение параллельных прямых

Рассмотрим конструкцию из трёх прямых, где одна является общей перпендикулярной двум другим. Это служит способом построения параллельных прямых: одна линия перпендикулярна исходной, другая проводиться параллельно изначальной.

Как из этого следует, противоположные стороны квадрата или прямоугольника параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же стороне.

При построении параллельных прямых для двух линий провели третью, параллельную первой. Следовательно, она также параллельна второй, что показывает взаимосвязь при построении.

Заключение

В рамках этого урока мы изучили основные понятия перпендикулярных и параллельных прямых и поняли, как они определяются для отрезков и лучей. Узнали, как проводить перпендикулярные и параллельные линии с использованием различных инструментов и подходов.

Список литературы

• Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. — Москва: ИОЦ «Мнемозина», 2014 — 264 с.
• Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. — Москва: «Просвещение», 2010; Часть 2 – 128 с.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. — Москва: ИОЦ «Мнемозина», 2013 — 288 с.