Тема урока: Решение рациональных неравенств методом интервалов 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое рациональные неравенства 🧠

• Научиться решать их методом интервалов 🔢

• Освоить показ решений на числовой прямой 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое рациональное неравенство? 🤔

Рациональное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) находится в дроби или произведении, и оно сравнивается с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:

• (x — 2)/(x + 1) > 0

• (x + 3)(x — 1) ≤ 0
  ✨ Важно: Решение — это все значения x, при которых неравенство верно, но нужно следить, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю.

2. Что такое метод интервалов? 🔍

Метод интервалов помогает найти, где выражение положительное или отрицательное. Он разбивает числовую прямую на части (интервалы) с помощью точек, где выражение равно нулю или не определено (например, знаменатель равен нулю).
Шаги:

1. Найти точки, где числитель равен нулю (корни).

2. Найти точки, где знаменатель равен нулю (запрещенные значения).

3. Разделить числовую прямую на интервалы этими точками.

4. Проверить знак выражения в каждом интервале.

5. Выбрать интервалы, подходящие под знак неравенства.

3. Пример решения шаг за шагом 📊

Рассмотрим неравенство: (x — 2)/(x + 1) > 0

1. Найти корни и запрещенные значения:

   • Числитель: x — 2 = 0 → x = 2

   • Знаменатель: x + 1 = 0 → x = -1 (запрещенное значение, так как знаменатель не может быть нулем).

2. Разделить числовую прямую: Точки x = -1 и x = 2 делят прямую на три интервала:

   • x < -1

   • -1 < x < 2

   • x > 2

3. Проверить знаки:

   • Для x = -2 (x < -1): (-2 — 2)/(-2 + 1) = (-4)/(-1) = положительное.

   • Для x = 0 (-1 < x < 2): (0 — 2)/(0 + 1) = (-2)/(1) = отрицательное.

   • Для x = 3 (x > 2): (3 — 2)/(3 + 1) = (1)/(4) = положительное.

4. Выбрать интервалы: Нам нужно, где выражение > 0 (положительное), то есть x < -1 или x > 2.
   Точка x = -1 исключена (запрещенное значение), а x = 2 не включается, так как неравенство строгое (>).
   Ответ: x < -1 или x > 2.

4. Показ решений на числовой прямой 📈

• Ставим точки на x = -1 (запрещенное значение, пустой кружок) и x = 2 (корень, пустой кружок для строгого «>»).

• Рисуем стрелки влево от -1 и вправо от 2, где выражение положительное.
  ✨ Для нестрогих неравенств (≥, ≤) корни (где числитель = 0) включаются, и кружки закрашиваются, но запрещенные значения (где знаменатель = 0) всегда исключаются.

5. Проверка решения ✅

Подставляем число из ответа:
Для x = 3 в (x — 2)/(x + 1) > 0: (3 — 2)/(3 + 1) = 1/4, а 1/4 > 0 — верно! 😊
Для x = 0 (не в решении): (0 — 2)/(0 + 1) = -2/1 = -2, а -2 не больше 0 — правильно!

6. Зачем это нужно? 🚀

Рациональные неравенства помогают решать задачи:

• Какие значения скорости подходят, чтобы время в пути было меньше заданного? 🚗

• Сколько товара можно продать, чтобы прибыль была положительной? 💸