Решение рациональных неравенств повышенной сложности

Тема урока: Решение рациональных неравенств повышенной сложности

Цели урока

• Понять, что такое рациональные неравенства повышенной сложности

• Научиться решать их методом интервалов

• Освоить показ решений на числовой прямой

Основная часть урока

1. Что такое рациональные неравенства повышенной сложности?

Рациональные неравенства — это выражения, где переменная (например, x) находится в дробях или произведениях, сравниваемых с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤). «Повышенная сложность» означает, что в неравенстве может быть больше членов, например, произведение нескольких выражений или сложная дробь, но всё ещё с простыми числами и переменной x.
Примеры:

• (x — 1)(x + 2)/(x — 3) > 0

• (x + 1)(x — 4)/(x + 5) ≤ 0
  Важно: Решение — это все значения x, при которых неравенство верно, но знаменатель не должен быть равен нулю.

2. Метод интервалов для решения

Метод интервалов помогает найти, где выражение положительное или отрицательное, разделяя числовую прямую на части.
Шаги:

1. Найти точки, где числитель равен нулю (корни).

2. Найти точки, где знаменатель равен нулю (запрещенные значения).

3. Разделить числовую прямую на интервалы этими точками.

4. Проверить знак выражения в каждом интервале.

5. Выбрать интервалы, подходящие под знак неравенства.
   Запомни: Запрещенные значения (где знаменатель = 0) всегда исключаются из ответа.

3. Пример решения шаг за шагом

Рассмотрим неравенство: (x — 2)(x + 1)/(x — 4) > 0

1. Найти корни и запрещенные значения:

   • Числитель: (x — 2)(x + 1) = 0 → x = 2, x = -1

   • Знаменатель: x — 4 = 0 → x = 4 (запрещено).

2. Разделить числовую прямую: Точки x = -1, x = 2, x = 4 делят прямую на четыре интервала:

   • x < -1

   • -1 < x < 2

   • 2 < x < 4

   • x > 4

3. Проверить знаки:

   • Для x = -2 (x < -1): (-2 — 2)(-2 + 1)/(-2 — 4) = (-4)(-1)/(-6) = 4/(-6) = отрицательное.

   • Для x = 0 (-1 < x < 2): (0 — 2)(0 + 1)/(0 — 4) = (-2)(1)/(-4) = 2/(-4) = отрицательное.

   • Для x = 3 (2 < x < 4): (3 — 2)(3 + 1)/(3 — 4) = (1)(4)/(-1) = 4/(-1) = отрицательное.

   • Для x = 5 (x > 4): (5 — 2)(5 + 1)/(5 — 4) = (3)(6)/(1) = 18/1 = положительное.

4. Выбрать интервалы: Нам нужно > 0 (положительное), то есть x > 4.
   Точка x = 4 исключена (запрещена), x = 2 и x = -1 не включаются (строгое «>»).
   Ответ: x > 4.

4. Показ решений на числовой прямой

• Ставим точки: x = -1, x = 2 (пустые кружки, так как неравенство строгое), x = 4 (пустой кружок, запрещенное значение).

• Рисуем стрелку вправо от 4, где выражение положительное.
  Для нестрогих неравенств (≥, ≤) корни числителя включаются (закрашенные кружки), но запрещенные значения всегда исключаются.

5. Проверка решения

Подставляем x = 5: (5 — 2)(5 + 1)/(5 — 4) = (3)(6)/(1) = 18, а 18 > 0 — верно!
Для x = 0 (не в решении): (0 — 2)(0 + 1)/(0 — 4) = (-2)(1)/(-4) = 2/(-4) = -0.5, а -0.5 не больше 0 — правильно!

6. Зачем это нужно?

Рациональные неравенства повышенной сложности помогают решать задачи:

• Какие значения подходят, чтобы прибыль от продаж была положительной?

• В каком диапазоне скоростей можно двигаться, чтобы уложиться в лимит времени?