Вынесение множителя из-под знака корня

Тема урока: Вынесение множителя из-под знака корня 📚

Цели урока 🎯

• Понять, какой множитель можно вынести из-под знака корня 🧠

• Освоить алгоритм с выделением полного квадрата 🛠

• Научиться сравнивать корни после упрощения 📊

Основная часть урока 📝

1. Зачем выносить множитель? 🤔

Запись √50 громоздкая, а 5√2 — то же число компактнее. Опора приёма — корень из произведения: √(a·b) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0.
✨ Важно: если под корнем есть полный квадрат, он «выходит» наружу: √(a²·b) = a√b при a ≥ 0 и b ≥ 0.

2. Алгоритм вынесения 🛠

1. Разложи подкоренное число на два множителя, один из которых — полный квадрат: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

2. Запиши корень из произведения как произведение корней, извлеки корень из квадрата и поставь его перед оставшимся корнем.
   ✨ Важно: выделяй наибольший полный квадрат.

3. Разбираем примеры по шагам 🔍

Пример 1. Упрости √50.

1. 50 = 25 · 2, поэтому √50 = √25 · √2 = 5√2.

2. Проверка: (5√2)² = 25 · 2 = 50 — верно. Ответ: 5√2.

Пример 2. Упрости √72.

1. Ловушка: 72 = 4 · 18 даёт 2√18, где под корнем остался квадрат 9.

2. Берём наибольший квадрат: 72 = 36 · 2, тогда √72 = √36 · √2 = 6√2.

3. Проверка: (6√2)² = 36 · 2 = 72 — верно. Ответ: 6√2.

4. Сравниваем корни с помощью вынесения 📊

Пример 3. Сравни 5√3 и √48.

1. √48 = √(16 · 3) = 4√3, а 5√3 > 4√3.

2. Проверка через квадраты: (5√3)² = 75, (√48)² = 48, 75 > 48 — верно. Ответ: 5√3 > √48.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ √50 = 25√2 → ✅ из-под корня выходит √25 = 5, а не 25: верный ответ 5√2.

• ❌ √(36 + 13) = 6 + √13 → ✅ выносить можно только множитель из произведения, а не слагаемое из суммы: √(36 + 13) = √49 = 7.

• ❌ Остановиться на 2√18 при упрощении √72 → ✅ проверь, не остался ли под корнем полный квадрат: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2.

Мини-конспект 📋

• √(a·b) = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0.

• √(a²·b) = a√b при a ≥ 0: полный квадрат выходит из-под корня.

• Ищи наибольший полный квадрат: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

• Из суммы под корнем множитель не выносится.

• Для сравнения приведи корни к виду a√b.

Зачем это нужно? 🚀

• Упрощённые корни легче складывать и сравнивать — это база всех задач с корнями в 8–9 классах 🧮

• Диагональ квадрата со стороной 5 см равна √50 = 5√2 см — точный и компактный ответ для чертежей 📐