Преобразование графиков функций: сдвиги вдоль осей
Тема урока: Преобразование графиков функций: сдвиги вдоль осей 📚
Цели урока 🎯
Научиться сдвигать график вдоль оси y по формуле y = f(x) + b ⬆️
Разобраться со сдвигом вдоль оси x по формуле y = f(x — a) ➡️
Уметь выполнять два сдвига подряд и находить вершину параболы 🛠
Основная часть урока 📝
1. Главная идея 🤔
Не обязательно строить каждый график заново по таблице. Если график y = x² уже знаком, графики y = x² + 3 или y = (x — 2)² получаются из него простым сдвигом — переносом всей кривой без изменения формы.
2. Сдвиг вдоль оси y ⬆️
График y = f(x) + b получается сдвигом графика y = f(x) на b единиц вверх при b > 0 и вниз при b < 0.
Пример 1. Построй y = x² + 3.
Берём параболу y = x² и поднимаем её на 3 единицы вверх.
Вершина переезжает из (0; 0) в (0; 3).
Проверка точкой: при x = 1 у исходной параболы y = 1, у новой y = 1 + 3 = 4 — ровно на 3 выше. Верно.
3. Сдвиг вдоль оси x ➡️
График y = f(x — a) получается сдвигом графика y = f(x) на a единиц вправо при a > 0. Знак внутри скобки работает «наоборот» — это главная ловушка темы.
Пример 2. Построй y = (x — 2)².
Скобка обращается в ноль при x = 2 — именно там теперь вершина.
Значит, парабола y = x² сдвинулась на 2 единицы вправо, вершина — (2; 0).
Проверка: при x = 3 получаем y = (3 — 2)² = 1 — как у исходной параболы в точке x = 1. Верно.
4. Два сдвига подряд 🛠
Пример 3. Построй y = (x + 1)² — 4.
Скобка (x + 1) = (x — (-1)): сдвиг на 1 влево.
Затем «- 4» снаружи: сдвиг на 4 вниз. Вершина — точка (-1; -4).
Проверка точкой: при x = 0 будет y = 1 — 4 = -3; и симметрично при x = -2 будет y = (-1)² — 4 = -3. Симметрия относительно прямой x = -1 сходится. Верно.
5. Сдвиги других графиков 📈
Правила работают для любой функции. Например, y = 1/(x — 3) — это гипербола y = 1/x, сдвинутая на 3 вправо: теперь «запрещённое» значение x = 3, и ветви прижимаются к вертикальной прямой x = 3.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Сдвигать y = (x — 2)² влево → ✅ вершина там, где скобка равна нулю: x = 2, сдвиг вправо.
❌ Путать оси: двигать y = x² + 3 вправо → ✅ число вне скобки отвечает за вертикаль: сдвиг вверх.
❌ При двойном сдвиге терять один из них → ✅ выполняй по очереди: сначала по горизонтали, затем по вертикали.
❌ Менять форму кривой при переносе → ✅ сдвиг не растягивает график: форма остаётся прежней.
Нужен прочный фундамент по предмету? 🎓
Сдвиги графиков — опора всей темы функций вплоть до 11 класса. В онлайн-школе «Моя школа LS» учитель на живых уроках в малых группах доведёт преобразования до автоматизма и закроет пробелы, которые мешают идти дальше.
Мини-конспект 📋
y = f(x) + b — сдвиг на b вверх (при b > 0) или вниз (при b < 0).
y = f(x — a) — сдвиг на a вправо; y = f(x + a) — на a влево.
Вершина параболы y = (x — a)² + b — точка (a; b).
Ориентир: особая точка графика там, где скобка обращается в ноль.
Форма графика при сдвигах не меняется.
Проверяй перенос контрольной точкой.
Зачем это нужно? 🚀
Через сдвиги строится график y = ax² + bx + c — следующая большая тема курса 📈
В играх и анимации движение объекта — это и есть сдвиг его траектории по осям 🎮
На контрольной сдвиг занимает секунды, а построение по таблице — минуты ⏱
Вправо на a единиц при a > 0. Запомнить легко: особая точка графика оказывается там, где выражение в скобке равно нулю. Для y = (x — 5)² это x = 5.
- Скобка равна нулю при x = 5 — сдвиг на 5 вправо.
- Плюс 2 снаружи — сдвиг на 2 вверх.
- Проверка: y(5) = 0 + 2 = 2 — наименьшее значение.
Ответ: вершина в точке (5; 2).
Возьми контрольную точку: подставь удобный x в новую формулу и убедись, что точка легла на нарисованную кривую. Для параболы дополнительно проверь симметрию относительно вертикали через вершину.
Оцените урок:
