Графическое решение квадратных уравнений
Тема урока: Графическое решение квадратных уравнений
Цели урока
Понять, как корни уравнения видны на графике
Освоить два способа графического решения
Научиться определять число корней по чертежу
Основная часть урока
1. Идея метода
Корень уравнения — это значение x, при котором равенство верно. На графике корни видны глазами: это абсциссы точек, где график функции пересекает ось x или где пересекаются два графика.
2. Способ 1: парабола и ось x
Пример 1. Реши графически x² — 2x — 3 = 0.
Строим y = x² — 2x — 3: вершина x₀ = -(-2)/(2 · 1) = 1, y₀ = 1 — 2 — 3 = -4, точка (1; -4); ветви вверх.
По чертежу парабола пересекает ось x в точках x = -1 и x = 3.
Проверка подстановкой: (-1)² — 2 · (-1) — 3 = 1 + 2 — 3 = 0 и 3² — 2 · 3 — 3 = 9 — 6 — 3 = 0 — верно. Ответ: x = -1, x = 3.
3. Способ 2: парабола и прямая
Пример 2. То же уравнение решим иначе: перенесём слагаемые — x² = 2x + 3.
Строим два графика: параболу y = x² и прямую y = 2x + 3.
Они пересекаются в точках с абсциссами x = -1 и x = 3.
Проверка: при x = -1 парабола даёт 1 и прямая 2 · (-1) + 3 = 1; при x = 3 парабола даёт 9 и прямая 6 + 3 = 9 — точки общие. Ответ тот же: x = -1, x = 3.
Важно: способ удобен тем, что параболу y = x² ты уже умеешь строить наизусть, остаётся провести прямую по двум точкам.
4. Сколько корней у уравнения?
Две общие точки графиков — два корня.
Графики касаются в одной точке — один корень: так у уравнения x² — 2x + 1 = 0 парабола касается оси x в точке x = 1.
Общих точек нет — корней нет: например, для x² + 1 = 0 графики y = x² и y = -1 не пересекаются.
5. Точность метода
График даёт приближённый ответ: если корни нецелые, по клеточкам их точно не прочитать. Поэтому «красивые» корни с чертежа обязательно проверяем подстановкой, а для точного ответа используем формулы корней — они впереди в курсе.
Типичные ошибки
❌ Выписывать в ответ ординаты точек пересечения → ✅ корни — это абсциссы, координаты по оси x.
❌ Доверять неаккуратному чертежу → ✅ каждое найденное значение проверяй подстановкой в уравнение.
❌ Найти одну точку пересечения и остановиться → ✅ у квадратного уравнения может быть два корня — исследуй весь чертёж.
❌ Считать касание «отсутствием решений» → ✅ касание — это ровно один корень.
Хочешь понимать, а не зубрить?
Графический метод показывает, откуда вообще берутся корни уравнения. На живых онлайн-уроках «Моей школы LS» в малых группах учитель связывает формулы с картинками — так алгебра становится понятной, с 1 по 11 класс.
Мини-конспект
Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков.
Способ 1: построить y = ax² + bx + c и найти пересечения с осью x.
Способ 2: переписать уравнение как x² = kx + m и пересечь y = x² с прямой.
Две точки — два корня, касание — один, нет точек — нет корней.
Метод приближённый: найденные корни проверяй подстановкой.
Зачем это нужно?
Связь «уравнение — график» — фундамент всей алгебры старших классов
По графику можно мгновенно прикинуть число корней, не считая ничего
Инженеры и экономисты читают решения прямо с графиков приборов и моделей
Уравнение представляют как равенство двух функций, строят их графики и находят абсциссы общих точек — это и есть корни. Чаще всего строят параболу и смотрят, где она пересекает ось x или заданную прямую.
- Строим параболу y = x² и горизонтальную прямую y = 4.
- Они пересекаются в точках с абсциссами x = -2 и x = 2.
- Проверка: (-2)² = 4 и 2² = 4.
Ответ: x = -2, x = 2.
Когда корни нецелые: по клеточкам получится лишь приближение вроде «примерно 1,6». Для точного ответа нужны формулы корней и дискриминант, а график полезен для прикидки числа решений.
Оцените урок:
