Теорема Виета
Тема урока: Теорема Виета 📚
Цели урока 🎯
Узнать, как корни квадратного уравнения связаны с его коэффициентами 🧠
Научиться находить корни приведённого уравнения устным подбором 🔢
Освоить обратную теорему Виета для быстрой проверки ответов ✅
Основная часть урока 📝
1. О чём говорит теорема Виета? 🤔
Приведённым называют квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 1: x² + px + q = 0. Теорема Виета утверждает: если у такого уравнения есть корни x1 и x2, то:
x1 + x2 = −p — сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком;
x1 · x2 = q — произведение корней равно свободному члену.
✨ Важно: теорема работает, только когда корни существуют, то есть при D ≥ 0.
2. Пример 1: подбираем корни устно 🛠
Решим x² − 7x + 12 = 0 без дискриминанта.
Выписываем условия: x1 + x2 = 7, x1 · x2 = 12.
Перебираем пары с произведением 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
Сверяем сумму: 3 + 4 = 7 — подходит только пара 3 и 4.
Ответ: x1 = 3, x2 = 4.
Проверка: 3² − 7·3 + 12 = 9 − 21 + 12 = 0 — верно! ✅
3. Пример 2: корни разных знаков 🔍
Решим x² + 5x − 14 = 0.
Сумма корней равна −5, произведение равно −14. Произведение отрицательное — значит, корни разных знаков.
Пары с произведением 14: 1 и 14, 2 и 7. Подбираем знаки: 2 + (−7) = −5 — подходит.
Ответ: x1 = 2, x2 = −7.
Проверка: 2² + 5·2 − 14 = 4 + 10 − 14 = 0 — верно! ✅
4. Если уравнение не приведённое 📐
Для уравнения ax² + bx + c = 0 формулы такие: x1 + x2 = −b/a, x1 · x2 = c/a. Проще всего сначала разделить обе части на a.
Пример 3: 2x² − 8x + 6 = 0. Делим на 2: x² − 4x + 3 = 0. Сумма корней 4, произведение 3 — это числа 1 и 3.
Проверка: 2·1² − 8·1 + 6 = 2 − 8 + 6 = 0 и 2·3² − 8·3 + 6 = 18 − 24 + 6 = 0 — оба корня верны! ✅
5. Обратная теорема Виета ✅
Если числа m и n таковы, что m + n = −p и m·n = q, то m и n — корни уравнения x² + px + q = 0. Именно обратная теорема разрешает «угадывать»: подобрал пару чисел, сверил сумму и произведение — решение готово.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Берут сумму корней равной p → ✅ сумма равна −p: в x² − 7x + 12 = 0 сумма корней 7, а не −7.
❌ Применяют формулы приведённого уравнения к 5x² + 3x − 2 = 0 напрямую → ✅ сначала разделить обе части на старший коэффициент.
❌ Подбирают пару только по произведению → ✅ проверять оба условия: и произведение, и сумму.
❌ Ищут корни подбором при D < 0 → ✅ если дискриминант отрицательный, корней нет и подбирать нечего.
Хочешь понимать, а не зубрить? 🎓
Теорема Виета — приём, который экономит минуты на каждой контрольной. На живых онлайн-уроках «Моей школы LS» учитель в малой группе покажет, как щёлкать квадратные уравнения устно, и разберёт именно твои пробелы.
Мини-конспект 📋
Приведённое уравнение: x² + px + q = 0, старший коэффициент равен 1.
Сумма корней: x1 + x2 = −p.
Произведение корней: x1 · x2 = q.
Для ax² + bx + c = 0: сумма равна −b/a, произведение равно c/a.
Произведение отрицательное — корни разных знаков.
Теорема применима только при D ≥ 0.
Обратная теорема позволяет подбирать корни и проверять ответ.
Зачем это нужно? 🚀
Устный подбор корней экономит время на контрольных и экзаменах ⏱
Быстрая проверка ответа без полной подстановки страхует от обидных ошибок ✅
На теореме Виета держится разложение трёхчлена на множители — тема следующего урока 🧩
Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 с корнями x1 и x2 верно: x1 + x2 = −p и x1 · x2 = q. Обратная теорема добавляет: если пара чисел даёт нужные сумму и произведение, то это и есть корни уравнения.
- Сумма корней равна 9, произведение равно 20.
- Пары с произведением 20: 1 и 20, 2 и 10, 4 и 5.
- Сумму 9 даёт пара 4 и 5 — это корни.
- Проверка: 4² − 9·4 + 20 = 16 − 36 + 20 = 0 — верно.
Запомни: сумма корней — это второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение — свободный член без изменений. Подсказка по знакам корней: произведение положительное — корни одного знака (какого именно, покажет сумма), произведение отрицательное — корни разных знаков.
Оцените урок:
