Решение рациональных уравнений
Тема урока: Решение рациональных уравнений 📚
Цели урока 🎯
Понять, какие уравнения называют дробно-рациональными 🧠
Освоить алгоритм: ОДЗ → общий знаменатель → решение → отбор корней 🛠
Научиться находить и отбрасывать посторонние корни 🔍
Основная часть урока 📝
1. Какое уравнение называют рациональным? 🤔
Рациональное уравнение состоит из рациональных выражений — многочленов и дробей. Если переменная стоит в знаменателе, уравнение называют дробно-рациональным: например, 12/x − 12/(x + 1) = 1.
✨ Важно: на ноль делить нельзя, поэтому первым делом всегда выписываем ОДЗ — значения x, при которых все знаменатели не равны нулю.
2. Алгоритм решения 📋
Найти ОДЗ: выписать все x, при которых знаменатели обращаются в ноль, и исключить их.
Умножить обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.
Решить получившееся линейное или квадратное уравнение.
Сверить корни с ОДЗ и отбросить посторонние.
3. Пример 1: одна дробь 🛠
Решим (x + 3)/(x − 1) = 2.
ОДЗ: x ≠ 1.
Убираем знаменатель: x + 3 = 2(x − 1).
Решаем: x + 3 = 2x − 2, откуда x = 5. В ОДЗ входит.
Проверка: (5 + 3)/(5 − 1) = 8/4 = 2 — верно! ✅
4. Пример 2: уравнение сводится к квадратному 🔍
Решим 12/x − 12/(x + 1) = 1.
ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ −1.
Умножаем обе части на x(x + 1): 12(x + 1) − 12x = x(x + 1).
Слева всё сокращается: 12x + 12 − 12x = 12, значит 12 = x² + x.
x² + x − 12 = 0: D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7)/2, корни 3 и −4. Оба входят в ОДЗ.
Проверка: 12/3 − 12/4 = 4 − 3 = 1 ✅ и 12/(−4) − 12/(−3) = −3 + 4 = 1 ✅. Ответ: x = 3 и x = −4.
5. Пример 3: посторонний корень 📐
Решим (x² − 4)/(x − 2) = 0.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. ОДЗ: x ≠ 2.
x² − 4 = 0 даёт x = 2 и x = −2.
Корень x = 2 не входит в ОДЗ — он посторонний. Ответ: x = −2.
Проверка: ((−2)² − 4)/(−2 − 2) = 0/(−4) = 0 — верно! ✅
Типичные ошибки ⚠️
❌ Решают без ОДЗ и оставляют все корни → ✅ сначала ОДЗ, в конце — отбор корней.
❌ Оставляют корень, при котором знаменатель равен нулю → ✅ такой корень посторонний, его отбрасываем.
❌ При умножении на знаменатель забывают умножить правую часть → ✅ умножаем обе части уравнения целиком.
❌ Теряют знак минус, раскрывая скобки вида −12(x + 1) → ✅ минус относится к каждому слагаемому в скобке.
Нужен прочный фундамент по предмету? 🎓
Рациональные уравнения опираются сразу на дроби, ОДЗ и квадратные уравнения — если где-то пробел, всё сыплется. В онлайн-школе «Моя школа LS» (с 1 по 11 класс) учитель на живых уроках в малой группе найдёт слабое звено и укрепит именно его.
Мини-конспект 📋
Дробно-рациональное уравнение — переменная стоит в знаменателе.
Первый шаг всегда — ОДЗ: знаменатели не равны нулю.
Умножение на общий знаменатель убирает дроби.
Дробь равна нулю ⇔ числитель равен нулю, знаменатель — нет.
Каждый корень сверяем с ОДЗ: не входит — отбрасываем.
Финальная проверка — подстановка в исходное уравнение.
Зачем это нужно? 🚀
Задачи на движение и совместную работу решаются именно такими уравнениями 🚗
Расчёты «цена — количество — стоимость» при изменении цены приводят к дробям 💸
На ОГЭ и ЕГЭ дробно-рациональные уравнения встречаются каждый год 🎯
ОДЗ — область допустимых значений: все x, при которых уравнение имеет смысл. В дробно-рациональных уравнениях из ОДЗ исключают значения, обращающие знаменатель в ноль, потому что на ноль делить нельзя. Без ОДЗ легко записать в ответ посторонний корень.
- ОДЗ: x ≠ 0.
- Умножаем обе части на x: 6 = x² − x.
- x² − x − 6 = 0: D = 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5)/2, корни 3 и −2. Оба в ОДЗ.
- Проверка: 6/3 = 2 = 3 − 1 и 6/(−2) = −3 = −2 − 1 — оба корня подходят.
Подставь корень в каждый знаменатель исходного уравнения. Если хотя бы один знаменатель обращается в ноль — корень посторонний, в ответ он не идёт. Это занимает несколько секунд и спасает от типичной ошибки.
Оцените урок:
