Решение задач с помощью квадратных уравнений
Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений 📚
Цели урока 🎯
Научиться переводить условие задачи на язык уравнений 🧠
Отработать полный путь: обозначение → уравнение → корни → ответ 🛠
Понять, как отбирать корни по смыслу задачи ✅
Основная часть урока 📝
1. План решения текстовой задачи 🤔
Обозначить неизвестную величину за x.
Выразить через x остальные величины из условия.
Составить уравнение по связи, которая дана в задаче.
Решить уравнение.
Отобрать корни по смыслу и записать ответ на вопрос задачи.
✨ Важно: уравнение часто даёт два корня, но задаче подходит не каждый.
2. Пример 1: задача на площадь 🛠
Длина прямоугольного участка на 3 м больше ширины, а площадь равна 40 м². Найди стороны участка.
Обозначаем: ширина x м, тогда длина (x + 3) м.
Уравнение: x(x + 3) = 40, то есть x² + 3x − 40 = 0.
Решаем: D = 9 + 160 = 169, x = (−3 ± 13)/2, корни 5 и −8.
Отбор: ширина не может быть отрицательной, значит x = 5.
Ответ: ширина 5 м, длина 8 м. Проверка: 5·8 = 40 м² — верно! ✅
3. Пример 2: последовательные числа 🔍
Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 56. Найди эти числа.
Меньшее число x, следующее за ним — x + 1.
Уравнение: x(x + 1) = 56, то есть x² + x − 56 = 0.
D = 1 + 224 = 225, x = (−1 ± 15)/2, корни 7 и −8.
Число натуральное, поэтому x = 7. Ответ: 7 и 8. Проверка: 7·8 = 56 — верно! ✅
4. Пример 3: число и его квадрат 📐
Квадрат числа на 30 больше самого числа. Найди это число.
Уравнение: x² = x + 30, то есть x² − x − 30 = 0.
D = 1 + 120 = 121, x = (1 ± 11)/2, корни 6 и −5.
Ограничений в условии нет — подходят оба. Ответ: 6 или −5.
Проверка: 6² = 36 = 6 + 30 ✅ и (−5)² = 25 = −5 + 30 ✅.
5. Как отбирать корни ✅
Смотри на смысл величины: длина, площадь, скорость и время положительны; количество предметов — натуральное число. Корень, который противоречит условию, отбрасываем, даже если уравнение решено без ошибок. А если ограничений нет, как в примере 3, в ответ идут оба корня.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Записывают в ответ отрицательную ширину или скорость → ✅ сверять каждый корень со смыслом величины.
❌ Находят x и останавливаются → ✅ перечитать вопрос: часто спрашивают другую величину, например обе стороны.
❌ Проверяют корень только в уравнении → ✅ проверять по условию задачи: уравнение могло быть составлено неверно.
❌ Пишут ответ без единиц измерения → ✅ метры, секунды и штуки — часть ответа.
Тема не даётся? Разберём вместе 🎓
Текстовые задачи пугают, пока не видишь схему перевода слов в уравнение. На живых онлайн-уроках «Моей школы LS» учитель в малой группе разберёт с тобой задачи шаг за шагом — от условия до проверенного ответа.
Мини-конспект 📋
Схема: обозначить x → выразить величины → уравнение → корни → отбор → ответ.
За x удобно брать меньшую или искомую величину.
Площадь прямоугольника: произведение сторон.
Последовательные числа: x и x + 1.
Длина, площадь, скорость, время — только положительные корни.
Проверять ответ подстановкой в условие, а не только в уравнение.
Зачем это нужно? 🚀
Прикинуть размеры грядки, комнаты или участка под нужную площадь 📏
Задачи «на составление уравнения» — обязательная часть ОГЭ по математике 🎯
Умение строить модель по тексту пригодится в физике и информатике 🧩
С выбора неизвестного: обозначь за x величину, о которой спрашивают, или меньшую из связанных величин. Затем вырази остальные величины через x и найди в условии фразу-связку («площадь равна», «на 30 больше») — из неё и получится уравнение.
- Исходная сторона x см, новая — (x + 2) см.
- Уравнение: (x + 2)² = 49.
- Сторона положительна, поэтому x + 2 = 7, откуда x = 5.
- Проверка: (5 + 2)² = 49 — верно. Ответ: 5 см.
Сверь каждый корень со смыслом задачи: отрицательную длину, скорость или дробное число людей отбрасываем. Если условию не противоречит ни один корень, в ответ записывают оба — так бывает в задачах «про число».
Оцените урок:
