Производные элементарных функций
Тема урока: Производные элементарных функций 📚
Цели урока 🎯
Выучить таблицу производных основных функций 🧠
Научиться применять таблицу вместе с правилами дифференцирования 🔢
Запомнить, где прячутся минусы и коэффициенты ⚠️
Основная часть урока 📝
1. Таблица производных 📋
Эти формулы — «таблица умножения» 11 класса. Их нужно знать наизусть:
(C)’ = 0; (x)’ = 1; (xn)’ = n · xn−1
(√x)’ = 1/(2√x); (1/x)’ = −1/x²
(sin x)’ = cos x; (cos x)’ = −sin x; (tg x)’ = 1/cos²x
(ex)’ = ex; (ax)’ = ax · ln a; (ln x)’ = 1/x
2. Степенные функции и корень 🛠
Пример 1. Найдём три производные по формуле (xn)’ = n · xn−1.
f(x) = x⁵: показатель 5 выносим, новый показатель 4: f'(x) = 5x⁴.
g(x) = √x = x1/2: g'(x) = (1/2) · x−1/2 = 1/(2√x) — табличная формула получилась сама.
h(x) = 1/x = x−1: h'(x) = −1 · x−2 = −1/x².
Проверка для f: в точке x = 1 секущая с шагом 0,01 даёт (1,01⁵ − 1)/0,01 ≈ 5,10, а f'(1) = 5. Сходится. ✅
3. Тригонометрические функции 📐
Пример 2. f(x) = 4 sin x + 3 cos x. Найдём f'(x) и f'(0).
(4 sin x)’ = 4 cos x; (3 cos x)’ = −3 sin x.
f'(x) = 4 cos x − 3 sin x. Ответ: 4 cos x − 3 sin x.
f'(0) = 4 · 1 − 3 · 0 = 4.
Проверка: (f(0,01) − f(0))/0,01 = (4 sin 0,01 + 3 cos 0,01 − 3)/0,01 ≈ (0,04 + 2,99985 − 3)/0,01 ≈ 3,99 — близко к 4. ✅
✨ Важно: минус появляется только у косинуса: «синус → косинус, косинус → минус синус».
4. Экспонента и логарифм 🌱
Функция ex уникальна: её производная равна ей самой. А у натурального логарифма производная — простая дробь: (ln x)’ = 1/x.
Пример 3. f(x) = 2ex + ln x. Найдём f'(x) и f'(1).
(2ex)’ = 2ex; (ln x)’ = 1/x.
f'(x) = 2ex + 1/x. Ответ: 2ex + 1/x.
f'(1) = 2e + 1 ≈ 6,44.
Проверка: секущая в точке x = 1 с шагом 0,01 даёт (f(1,01) − f(1))/0,01 ≈ 6,46, а точное значение 6,44 — расхождение в сотых, как и положено. ✅
Типичные ошибки ⚠️
❌ Пишут (cos x)’ = sin x → ✅ (cos x)’ = −sin x: минус обязателен.
❌ В (xn)’ оставляют старый показатель → ✅ показатель уменьшается на единицу, а старый выносится множителем.
❌ Путают (ex)’ со степенной формулой и пишут x · ex−1 → ✅ здесь переменная в показателе: (ex)’ = ex.
❌ Пишут (ln x)’ = ln x → ✅ (ln x)’ = 1/x.
Тема не даётся? Разберём вместе 🎓
Если таблица производных пока не держится в голове — это тренируется за пару занятий. В онлайн-школе «Моя школа LS» (1–11 класс) учитель на живых уроках в малой группе отработает с тобой каждую формулу до уверенного применения.
Мини-конспект 📋
(xn)’ = n · xn−1 — работает и для дробных, и для отрицательных n.
(√x)’ = 1/(2√x); (1/x)’ = −1/x².
(sin x)’ = cos x; (cos x)’ = −sin x.
(tg x)’ = 1/cos²x.
(ex)’ = ex; (ax)’ = ax · ln a; (ln x)’ = 1/x.
Таблица + правила дифференцирования = производная почти любой школьной функции.
Зачем это нужно? 🚀
Колебания и волны — от звука до маятника — описываются синусами, и их скорости считают по таблице 🎵
Рост вклада, популяции или числа пользователей моделируют экспонентой — её производная нужна для прогнозов 🌱
На ЕГЭ производные табличных функций встречаются и в первой, и во второй части 🎯
Это готовая формула производной элементарной функции: степенной, тригонометрической, показательной или логарифмической. Например, (sin x)’ = cos x. Таблицу выучивают наизусть и комбинируют с правилами дифференцирования.
- По формуле (xn)’ = n · xn−1: f'(x) = 4x³;
- подставляем x = 2: f'(2) = 4 · 8 = 32. Ответ: 32.
Учи парами и следи за минусами: «синус → косинус, косинус → минус синус». Степенную формулу отрабатывай на корне и дроби: √x и 1/x — это x1/2 и x−1. И проверяй себя секущей: (f(x + 0,01) − f(x))/0,01 должно быть близко к производной.
Оцените урок:
