Интеграл. Формула Ньютона—Лейбница и её применение

Тема урока: Интеграл. Формула Ньютона—Лейбница и её применение 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое определённый интеграл 🧠

• Освоить формулу Ньютона—Лейбница 🔢

• Научиться вычислять площади фигур с помощью интеграла 📐

Основная часть урока 📝

1. Что такое определённый интеграл? 🤔

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Определённый интеграл функции f(x) на этом отрезке — это число, равное площади криволинейной трапеции: фигуры, ограниченной графиком f(x), осью Ox и вертикальными прямыми x = a и x = b.
Число a называют нижним пределом интегрирования, b — верхним.
✨ Важно: интеграл — это число, а не функция. Вычислять его помогает первообразная — функция F(x), у которой F'(x) = f(x).

2. Формула Ньютона—Лейбница 🔍

Главная формула урока: определённый интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] равен F(b) − F(a), где F(x) — любая первообразная f(x). План действий:

1. Найди первообразную F(x).

2. Подставь верхний предел: вычисли F(b).

3. Подставь нижний предел: вычисли F(a).

4. Вычти: F(b) − F(a) — это и есть ответ.

3. Пример 1: интеграл от x² 🛠

Вычислим интеграл функции f(x) = x² на отрезке [1; 3].

1. Первообразная: F(x) = x³/3. Проверка: (x³/3)’ = 3x²/3 = x² ✓.

2. Верхний предел: F(3) = 27/3 = 9.

3. Нижний предел: F(1) = 1/3.

4. Ответ: 9 − 1/3 = 26/3.
   Проверка здравым смыслом: на [1; 3] значения x² лежат между 1 и 9, ширина отрезка 2, значит площадь — между 2 и 18. Число 26/3 (примерно 8,7) в эти рамки попадает ✓.

4. Пример 2: площадь фигуры 📐

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой y = 4 − x² и осью Ox.

1. Границы: решаем 4 − x² = 0, получаем x = −2 и x = 2. Интегрируем по отрезку [−2; 2].

2. Первообразная: F(x) = 4x − x³/3.

3. Подстановка: F(2) = 8 − 8/3 = 16/3; F(−2) = −8 + 8/3 = −16/3.

4. Ответ: S = 16/3 − (−16/3) = 32/3 (примерно 10,7).
   Проверка: фигура симметрична относительно оси Oy, поэтому S = 2 · 16/3 = 32/3 — сходится ✓.

5. Пример 3: интеграл от синуса 📈

1. Вычислим интеграл sin x на отрезке [0; π]. Первообразная: F(x) = −cos x, ведь (−cos x)’ = sin x.

2. F(π) = −cos π = −(−1) = 1; F(0) = −cos 0 = −1.

3. Ответ: 1 − (−1) = 2.
   ✨ Важно: sin x ≥ 0 на всём отрезке [0; π], поэтому положительный ответ логичен ✓.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Находят только F(b) и записывают его как ответ → ✅ по формуле обязательно вычесть ещё F(a).

• ❌ Вычитают в обратном порядке: F(a) − F(b) → ✅ всегда «верхний минус нижний»: F(b) − F(a).

• ❌ Пишут первообразную sin x как cos x → ✅ первообразная sin x — это −cos x; проверяй себя дифференцированием.

• ❌ Для фигуры под осью Ox оставляют отрицательное число как площадь → ✅ площадь всегда положительна: возьми интеграл с противоположным знаком.

Мини-конспект 📋

• Определённый интеграл на [a; b] — площадь криволинейной трапеции при f(x) ≥ 0.

• Формула Ньютона—Лейбница: интеграл равен F(b) − F(a).

• F(x) — первообразная: F'(x) = f(x).

• Первообразная xⁿ — это xⁿ⁺¹/(n + 1).

• Первообразная sin x — это −cos x, а первообразная cos x — это sin x.

• Порядок вычитания: сначала верхний предел, затем нижний.

• Проверка: производная первообразной должна дать исходную функцию.

Зачем это нужно? 🚀

• Путь по графику скорости: пройденное расстояние — это интеграл скорости по времени 🚗

• Инженеры считают интегралами площади, объёмы и прочность конструкций 🏗

• В физике через интеграл находят работу силы и электрический заряд ⚡