Системы уравнений. Равносильность и методы решения

Тема урока: Системы уравнений. Равносильность и методы решения 📚

Цели урока 🎯

• Понять, какие системы называются равносильными ⚖️

• Освоить методы подстановки, сложения и замены переменных 🛠

• Научиться проверять найденные решения ✅

Основная часть урока 📝

1. Система и её решение 🤔

Решение системы с двумя переменными — пара (x; y), которая удовлетворяет каждому уравнению одновременно. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет. Геометрически решения — точки пересечения графиков уравнений.

2. Равносильность систем ⚖️

Две системы равносильны, если множества их решений совпадают. Преобразования, сохраняющие равносильность:

• выразить переменную из одного уравнения и подставить в другое;

• заменить уравнение суммой или разностью уравнений системы;

• умножить обе части уравнения на число, отличное от нуля.

✨ Важно: возведение в квадрат и умножение на выражение с переменной могут добавить посторонние решения — после таких шагов проверка обязательна.

3. Пример 1: метод подстановки 🛠

Решим систему: x − y = 1 и x² + y² = 25.

1. Из первого уравнения: x = y + 1.

2. Подставляем во второе: (y + 1)² + y² = 25 → 2y² + 2y + 1 = 25 → 2y² + 2y − 24 = 0 → y² + y − 12 = 0.

3. D = 1 + 48 = 49; y = (−1 ± 7)/2, то есть y₁ = 3, y₂ = −4.

4. Возвращаемся к x: x₁ = 4, x₂ = −3. Ответ: (4; 3) и (−3; −4).

✅ Проверка: 4 − 3 = 1 и 16 + 9 = 25; −3 − (−4) = 1 и 9 + 16 = 25 — обе пары подходят.

4. Пример 2: метод сложения ➕

Решим систему: 3x + 2y = 12 и 5x − 2y = 4.

1. Складываем уравнения — слагаемые с y уничтожаются: 8x = 16 → x = 2.

2. Подставляем в первое: 3·2 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3.

3. Ответ: (2; 3).

✅ Проверка во втором уравнении: 5·2 − 2·3 = 10 − 6 = 4 — верно.

5. Пример 3: замена переменных 🔄

Решим систему: x + y = 5 и xy = 6.

1. Известны сумма и произведение двух чисел — по теореме, обратной теореме Виета, x и y являются корнями уравнения t² − 5t + 6 = 0.

2. Решаем: D = 25 − 24 = 1; t₁ = 2, t₂ = 3.

3. Ответ: (2; 3) и (3; 2) — обе пары, порядок переменных разный.

✅ Проверка: 2 + 3 = 5, 2·3 = 6 — сходится.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Теряют одно из решений, доведя до ответа только один корень → ✅ квадратное уравнение обычно даёт два корня — рассмотри оба.

• ❌ Найдя x, ошибаются при подстановке за счёт знака → ✅ подставляй в самое простое уравнение и держи скобки: −3 − (−4) = 1.

• ❌ Делят уравнение на выражение с переменной → ✅ оно может быть нулём, и решение потеряется; переноси всё в одну часть и раскладывай на множители.

• ❌ Пропускают проверку после неравносильных преобразований → ✅ подстановка найденных пар в исходную систему — обязательный финальный шаг.

Мини-конспект 📋

• Решение системы — пара (x; y), подходящая каждому уравнению.

• Равносильные системы имеют одинаковые множества решений.

• Подстановка: выражаем переменную из простого уравнения и подставляем в другое.

• Сложение: складываем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла.

• Сумма и произведение известны → x и y — корни t² − at + b = 0.

• После возведения в квадрат — обязательная проверка корней.

• Ответ записываем парами: (x; y).

Зачем это нужно? 🚀

• Текстовые задачи на движение, работу и смеси сводятся к системам уравнений 🚤

• Точка равновесия спроса и предложения в экономике — решение системы 📈

• GPS-навигатор находит твоё положение, решая систему уравнений окружностей от нескольких спутников 📍