Исследование функции на монотонность

Тема урока: Исследование функции на монотонность

Цели урока

• Понять определения возрастающей и убывающей функции

• Научиться доказывать монотонность через разность значений

• Находить промежутки монотонности параболы по вершине

Основная часть урока

1. Что такое монотонность?

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: из x₂ > x₁ следует f(x₂) > f(x₁). Убывает — если большему x соответствует меньшее значение функции. Промежутки, где функция ведёт себя одинаково, называют промежутками монотонности.
Важно: сравнение должно выполняться для любых двух точек промежутка, а не для пары наугад.

2. Пример 1: линейная функция

Докажем, что y = 3x − 5 возрастает на всей числовой прямой.

1. Возьмём любые x₂ > x₁ и составим разность значений: f(x₂) − f(x₁) = (3x₂ − 5) − (3x₁ − 5) = 3(x₂ − x₁).

2. Разность x₂ − x₁ положительна, множитель 3 положителен — значит, и вся разность больше нуля.

3. Вывод: функция возрастает ✅ Общее правило: y = kx + b возрастает при k > 0 и убывает при k < 0.

3. Пример 2: функция y = x²

1. Возьмём 0 ≤ x₁ < x₂. Тогда x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁).

2. Первая скобка положительна, вторая тоже (сумма неотрицательных чисел, где x₂ > 0). Произведение положительно — функция возрастает на [0; +∞) ✅

3. На (−∞; 0] всё зеркально: там y = x² убывает. Числовая проверка: (−3)² = 9, (−1)² = 1 — x вырос, значение упало ✅

4. Пример 3: парабола общего вида

Найдём промежутки монотонности функции y = x² − 6x + 5.

1. Вершина: x₀ = −b/(2a) = 6/2 = 3.

2. Ветви вверх (a = 1 > 0): до вершины функция убывает, после — возрастает.

3. Ответ: убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞).

4. Проверка по точкам: y(2) = 4 − 12 + 5 = −3, y(3) = 9 − 18 + 5 = −4, y(4) = 16 − 24 + 5 = −3 — значения падают до вершины и растут после ✅

5. Как читать монотонность по графику

Иди по графику слева направо: участок «в гору» — функция возрастает, «с горы» — убывает. Точки, где подъём сменяется спуском или наоборот, разделяют промежутки монотонности — у параболы это вершина.

Типичные ошибки

• ❌ Делают вывод по двум удобным точкам → ✅ определение требует сравнения для любых точек промежутка.

• ❌ Говорят, что y = 1/x убывает «везде» → ✅ она убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) отдельно, а на всей области определения монотонной не является.

• ❌ Путают направление для k < 0 → ✅ отрицательный угловой коэффициент — прямая идёт вниз, функция убывает.

• ❌ Ищут монотонность параболы без вершины → ✅ сначала x₀ = −b/(2a), это граница промежутков.

Мини-конспект

• Возрастание: больше x — больше f(x); убывание: больше x — меньше f(x).

• Доказательство — через знак разности f(x₂) − f(x₁).

• y = kx + b: k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает.

• y = x²: убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞).

• Граница промежутков параболы — вершина x₀ = −b/(2a).

• По графику: слева направо «в гору» — возрастание, «с горы» — убывание.

Зачем это нужно?

• Понимать графики цен, температуры и статистики: где рост, а где спад

• Находить наибольшие и наименьшие значения — например, максимум высоты броска

• База для исследования функций и производной в старших классах