Решение квадратных неравенств

Тема урока: Решение квадратных неравенств 📚

Цели урока 🎯

• Понять, как знак трёхчлена связан с параболой 🧠

• Освоить решение неравенств по эскизу параболы 🛠

• Разобрать особые случаи: D = 0 и D < 0 🔍

Основная часть урока 📝

1. Идея метода: смотрим на параболу 🤔

Квадратное неравенство — это вопрос о знаке трёхчлена ax² + bx + c. График трёхчлена — парабола, и по её эскизу знак виден сразу: где график выше оси x, трёхчлен положителен, где ниже — отрицателен. Рисовать точно не нужно — достаточно корней и направления ветвей.

1. Найти корни трёхчлена (решить уравнение ax² + bx + c = 0).

2. Определить направление ветвей: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз.

3. Сделать эскиз и выписать промежутки нужного знака.

2. Пример 1: два корня, ветви вверх 🛠

Решим x² − 5x + 6 > 0.

1. Корни: D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/2, то есть 2 и 3.

2. Ветви вверх (a = 1 > 0): парабола выше оси левее меньшего корня и правее большего.

3. Ответ: x < 2 или x > 3.

4. Проверка: x = 0 даёт 6 > 0 ✅, а x = 2,5 даёт 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 — отрицательно, между корнями решений нет, верно ✅

3. Пример 2: отрицательный старший коэффициент 🔍

Решим −x² + 4x − 3 ≥ 0.

1. Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак: x² − 4x + 3 ≤ 0.

2. Корни: x² − 4x + 3 = 0, по Виета — 1 и 3.

3. Ветви вверх, нужен знак «не больше нуля» — это участок между корнями: 1 ≤ x ≤ 3. Знак нестрогий, границы входят.

4. Проверка в исходном неравенстве: x = 2 даёт −4 + 8 − 3 = 1 ≥ 0 ✅, а x = 0 даёт −3 — не подходит, и ноль вне ответа ✅

4. Пример 3: корней нет 📐

Решим x² + 2x + 5 > 0.

1. D = 4 − 20 = −16 < 0 — корней нет, парабола не пересекает ось x.

2. Ветви вверх, значит вся парабола лежит выше оси: трёхчлен положителен всегда.

3. Ответ: x — любое число. Проверка: x = 0 даёт 5 > 0 ✅

✨ Важно: у неравенства x² + 2x + 5 < 0 с тем же трёхчленом решений нет вовсе — та же парабола никогда не опускается ниже оси.

5. Случай D = 0 ✅

Если корень один, парабола касается оси. Например, x² − 6x + 9 = (x − 3)² > 0 верно при всех x, кроме x = 3, ведь (x − 3)² обращается в ноль только в точке касания. А (x − 3)² ≥ 0 верно вообще при всех x.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Умножают на −1 и оставляют прежний знак неравенства → ✅ знак обязательно переворачивается.

• ❌ Включают корни в ответ при строгом знаке → ✅ при > и < корни выколоты.

• ❌ При D < 0 автоматически пишут «решений нет» → ✅ смотреть на ветви: ответ либо «любое x», либо «нет решений».

• ❌ Путают, где трёхчлен положителен: между корнями или вне → ✅ эскиз параболы снимает вопрос за секунды.

Мини-конспект 📋

• Алгоритм: корни → ветви → эскиз → промежутки.

• a > 0: положительно вне корней, отрицательно между ними.

• a < 0 — удобнее умножить на −1 и перевернуть знак.

• Строгий знак — корни выколоты, нестрогий — входят в ответ.

• D < 0 и ветви вверх: трёхчлен положителен при любом x.

• D = 0: парабола касается оси в единственной точке.

• Проверка: подставить по числу из ответа и вне его.

Зачем это нужно? 🚀

• Найти, при каких размерах площадь превысит заданную — квадратное неравенство 📦

• В физике: когда брошенный мяч находится выше заданной высоты 🏀

• Основа метода интервалов, который ждёт тебя в 9 классе 🧩