Модуль действительного числа
Тема урока: Модуль действительного числа 📚
Цели урока 🎯
Понять определение модуля и его геометрический смысл 🧠
Научиться решать простейшие уравнения с модулем 🛠
Разобраться, почему √(a²) = |a| 📊
Основная часть урока 📝
1. Что такое модуль? 🤔
Модуль числа a обозначается |a| и определяется двумя случаями:
если a ≥ 0, то |a| = a — неотрицательное число остаётся собой;
если a < 0, то |a| = -a — у отрицательного числа меняется знак.
✨ Важно: запись -a здесь не означает отрицательное число. Если a = -3, то -a = 3.
2. Геометрический смысл 📏
|a| — это расстояние от точки a до нуля на координатной прямой. Точки 4 и -4 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому |4| = |-4| = 4.
А |a — b| — расстояние между точками a и b. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда ≥ 0.
3. Учимся вычислять 🔍
Пример 1. Вычисли |7|, |-4,5|, |0| и |3 — 8|.
|7| = 7 и |0| = 0 — числа неотрицательные, остаются собой.
|-4,5| = 4,5 — у отрицательного числа меняем знак.
|3 — 8| = |-5| = 5: сначала считаем выражение внутри, потом берём модуль.
4. Уравнения с модулем 🛠
Пример 2. Реши уравнение |x| = 6.
Ищем числа, удалённые от нуля на 6: это 6 и -6.
Проверка: |6| = 6 и |-6| = 6 — верно. Ответ: x = 6 или x = -6.
Пример 3. Реши уравнение |x — 2| = 5.
Модуль равен 5, когда выражение внутри равно 5 или -5.
x — 2 = 5, отсюда x = 7. Или x — 2 = -5, отсюда x = -3.
Проверка: |7 — 2| = |5| = 5 и |-3 — 2| = |-5| = 5 — верно. Ответ: x = 7 или x = -3.
5. Связь модуля с корнем 🧮
Для любого действительного a верно: √(a²) = |a|. Убедимся: √((-7)²) = √49 = 7, и это именно |-7|, а не -7.
✨ Важно: писать √(a²) = a можно только тогда, когда точно известно, что a ≥ 0.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Думать, что -a — всегда отрицательное число → ✅ при a = -3 получаем -a = 3, поэтому формула |a| = -a при a < 0 корректна.
❌ |x — 5| = x + 5 «просто меняем минус на плюс» → ✅ модуль раскрывают по определению, рассматривая два случая знака выражения внутри.
❌ √(a²) = a при любом a → ✅ верно √(a²) = |a|: при a = -7 корень равен 7.
❌ Решать |x| = -3 и получать x = -3 → ✅ у уравнения нет корней: модуль не бывает отрицательным.
Тема не даётся? Разберём вместе 🎓
Модуль с его двумя случаями сбивает с толку многих. На живом онлайн-уроке в «Моей школе LS» учитель разложит определение по полочкам, а в малой группе можно спокойно задать любой вопрос — учим с 1 по 11 класс.
Мини-конспект 📋
|a| = a при a ≥ 0 и |a| = -a при a < 0.
Модуль — расстояние от точки до нуля, поэтому |a| ≥ 0 всегда.
|a| = |-a| — противоположные числа имеют равные модули.
|x| = d при d > 0 даёт два корня: x = d и x = -d; при d < 0 корней нет.
√(a²) = |a| для любого действительного a.
|a — b| — расстояние между точками a и b на координатной прямой.
Зачем это нужно? 🚀
Погрешность измерения записывают через модуль: отклонение термометра «не больше 0,5°» — это |ошибка| ≤ 0,5 🌡
Навигатор считает расстояния как модули разностей координат — расстояние не бывает отрицательным 🗺
В 9–11 классах уравнения и неравенства с модулем — постоянные гости контрольных и экзаменов ✅
Это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Поэтому модуль никогда не бывает отрицательным: |5| = 5 и |-5| = 5.
- Выражение внутри модуля равно 4 или -4.
- x + 1 = 4, значит x = 3.
- x + 1 = -4, значит x = -5.
- Проверка: |3 + 1| = 4 и |-5 + 1| = |-4| = 4.
Ответ: x = 3 или x = -5.
Всегда рассматривай два случая: выражение внутри неотрицательно — модуль опускается, выражение отрицательно — знак меняется. В конце проверяй корни подстановкой и помни, что результат модуля не может быть отрицательным.
Оцените урок:
