Преобразование выражений с квадратными корнями

Тема урока: Преобразование выражений с квадратными корнями 📚

Цели урока 🎯

• Научиться складывать и вычитать корни через приведение подобных 🧠

• Применять формулы сокращённого умножения к корням 🛠

• Освоить избавление от корня в знаменателе дроби 🧹

Основная часть урока 📝

1. Наш набор инструментов 🤔

Все преобразования держатся на нескольких свойствах (для неотрицательных чисел):

• √(a·b) = √a · √b и √(a/b) = √a / √b при b > 0.

• (√a)² = a — квадрат «снимает» корень.

2. Приведение подобных слагаемых 🔍

Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным числом.

Пример 1. Упрости √50 + √18 — √2.

1. Выносим множители: √50 = 5√2, √18 = 3√2.

2. Складываем коэффициенты при √2: 5√2 + 3√2 — √2 = (5 + 3 — 1)√2 = 7√2.

3. Прикидка: 7,07 + 4,24 — 1,41 ≈ 9,9 ≈ 7√2 — сходится. Ответ: 7√2.

3. Формулы сокращённого умножения 🛠

Пример 2. Вычисли (√5 — √2)(√5 + √2).

1. По разности квадратов: (√5)² — (√2)² = 5 — 2 = 3. Ответ: 3.

Пример 3. Раскрой скобки: (1 + √3)².

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².

2. 1² + 2 · 1 · √3 + (√3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3.

3. Прикидка: (1 + 1,73)² ≈ 7,45, а 4 + 2√3 ≈ 7,46 — сходится. Ответ: 4 + 2√3.

4. Убираем корень из знаменателя 🧹

Пример 4. Упрости дробь 6/√3.

1. Домножаем числитель и знаменатель на √3: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

2. Проверка: 2√3 · √3 = 2 · 3 = 6 — исходный числитель. Ответ: 2√3.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ √2 + √3 = √5 → ✅ корни с разными подкоренными числами не складываются.

• ❌ (1 + √3)² = 1 + 3 = 4 → ✅ не теряй удвоенное произведение: 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3.

• ❌ 5√2 + 3√2 = 8√4 → ✅ складываются коэффициенты, подкоренное не меняется: 8√2.

Мини-конспект 📋

• Складываются только корни с одинаковым подкоренным числом.

• Перед сложением вынеси множители: √50 + √18 = 8√2.

• (√a — √b)(√a + √b) = a — b — разность квадратов убирает корни.

• (a + √b)² раскрывай полностью — не теряй 2a√b.

• От корня в знаменателе избавляйся домножением: 6/√3 = 2√3.

Зачем это нужно? 🚀

• Без этих преобразований не решить уравнения и задачи по геометрии с корнями в 8–9 классах 📐

• На ОГЭ есть отдельные задания на упрощение выражений с корнями — это готовые баллы ✅