На сегодняшнем уроке мы познакомимся с признаком делимости «по сумме цифр» и научимся его применять. Также вспомним признак делимости «по последней цифре» и разберемся, как использовать оба эти признака одновременно, а также когда это возможно, а когда нет.

Если у вас возникнут трудности с пониманием темы, рекомендуем ознакомиться с уроком «Число как объект изучения (Теория чисел)».

Введение

Признаки позволяют нам быстро оценить свойства объектов.

Существует пословица: «Дыма без огня не бывает», что подразумевает, что дым является признаком огня. Однако этот признак может быть обманчивым: что-то может тлеть и дымить без наличия настоящего огня.

В математике же признаки работают всегда. К таким признакам относятся признаки делимости.

Мы уже изучили признаки делимости на 2, 5 и 10, которые основаны на последней цифре. Если последняя цифра числа делится на 2, 5 или 10, то и всё число делится на соответствующее число.

Например, число 756 делится на 2, но не делится на 5 и 10.

Сегодня мы сосредоточимся на делимости на 3 и 9.

Признак делимости на 3 и на 9

Числа 18 и 81 делятся на 9, как и 27 и 72. Аналогично, 45 и 54 делятся на 3.

Важно отметить, что порядок цифр не влияет на делимость. Вы можете проверить: если числа делятся на 3 или 9, то перестановка их цифр не изменит этого свойства.

Признак делимости на 3 и 9 формулируется следующим образом: если сумма цифр числа делится на 3 или на 9, то и само число также делится на 3 или на 9.

Это связано с тем, что перестановка цифр не изменяет их сумму.

Как применять признак делимости на 3

Как увидеть, что число 72 делится на 3?

Например, так:

72 = 60 + 12. 60 делится на 3 и 12 делится на 3, значит, и все число делится на 3.

Это правило очень полезное, и мы его часто используем.

Если в сумме оба слагаемых делятся на некое число, то вся сумма делится на это число.

A = B + C

Если одно делится, а другое нет, то и вся сумма не делится.

A = B + C

Вернемся к числу 72.

Разложение на 60 и 12 удобно, но не дает нам общего правила, алгоритма, как действовать с другими числами.

Вспомним, что обозначает десятичная запись числа.

Первое слагаемое (7 * 9) делится на 3.

(7 + 2) тоже делится на 3. Но это и есть сумма цифр. Если бы она не делилась, то и все число не делилось бы.

Например, разделим число 73 на 3.

И этот алгоритм можно применить к любому числу.

Задача 1

Возьмем число побольше, 2382, и попробуем понять, делится ли оно на 3 и на 9.

Шаг первый

Вспомним, что означает десятичная запись числа, и запишем число в эквивалентной форме:

Распишем каждое разрядное число:

Раскроем скобки:

Сгруппируем слагаемые:

Получили две суммы.

Шаг второй

Используем свойство делимости суммы: если оба слагаемых делятся, то сумма делится, если одно делится, другое нет, то сумма не делится.

У нас в первых скобках каждое слагаемое делится на 3 и на 9, значит, и вся сумма делится на 3 и на 9.

Таким образом, делимость всего нашего числа зависит теперь от последней суммы. Если она делится на 3 или 9, то и все число делится, если нет, то и все число нет.

Но во вторых скобках и есть сумма цифр исходного числа.

То есть число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или на 9.

Проверим делимость в нашем случае:

2 + 3 + 8 + 2 = 15 делится на 3, но не делится на 9.

Ответ: 2382 делится на 3, но не делится на 9.

Есть удобный инструмент – теория сравнений.

С помощью него объяснение признака делимости на 3 и на 9 очень короткое. О нем рассказывается в конце урока.

Теория сравнений

С помощью теории сравнений можно кратко объяснить признак делимости на 3 и 9. Мы выбираем число, например 3, и называем его модулем. Два числа считаются одинаковыми, если они дают одинаковый остаток при делении на 3.

Например, числа 6 и 9 дают одинаковый остаток при делении на 3, следовательно, они сравнимы по модулю 3.

Применение нескольких признаков делимости

Рассмотрим, как использовать сразу два признака: по последней цифре и по сумме цифр.

1. Пример: Делится ли число 12 348 на 6?

   • Делится на 2 (последняя цифра 8 делится на 2).
   • Делится на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18 делится на 3).
   • Значит, 12 348 делится на 6.

2. Пример: Делится ли число 4525 на 15?

   • Делится на 5 (последняя цифра 5).
   • Не делится на 3 (сумма 4 + 5 + 2 + 5 = 16 не делится на 3).
   • Следовательно, 4525 не делится на 15.

Вопросы

Ответьте на следующие вопросы:

1. Если мы знаем, что число делится на 9, нужно ли проверять, делится ли оно на 3?
2. Если мы знаем, что число делится на 3, что можно сказать о его делимости на 9?

Теория сравнений и признак делимости на 3 и 9

Выбираем число, например 3. Будем называть его модулем.

Два числа считаем одинаковыми, если они дают одинаковый остаток при делении на 3.

Например,

Такие числа будем называть сравнимыми по модулю 3.

Очевидно, все разрядные числа сравнимы с единицей по модулям 3 и 9.

Доказательство признака делимости на 3 и на 9

Рассмотрим число.

Все разрядные числа можно заменить на единицы, если сравнивать по модулям 3 и 9.

То есть любое число и число, полученное как сумма его цифр, сравнимы по модулям 3 и 9. Значит, они делятся или не делятся на них одновременно. 

Список литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. «Математика 6». М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. В., Якир М. С. «Математика 6 класс». Гимназия, 2006.
3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. «За страницами учебника математики». Просвещение, 1989.

Дополнительные ресурсы

• Интернет-портал «school-assistant.ru»
• Интернет-портал «math-prosto.ru»

Домашнее задание

Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. и др. «Математика 6». М.: Мнемозина, 2012. Выполните задания № 64, 86, 92.