Тема урока: Решение линейных и квадратных неравенств 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что такое линейные и квадратные неравенства 🧠

• Научиться решать их простыми шагами 🔢

• Освоить показ решений на числовой прямой 📈

Основная часть урока 📝

1. Что такое линейное неравенство? 🤔

Линейное неравенство — это выражение, где переменная (например, x) не возводится в степень, а сравнивается с числом с помощью знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤).
Примеры:

• 3x + 2 > 8

• 5x — 4 ≤ 6
  ✨ Важно: Решение — это все значения x, которые делают неравенство верным.

2. Решение линейных неравенств 🛠

Чтобы найти x:

• Переносим числа в другую часть, меняя их знак (+ становится -, и наоборот).
  Пример: 2x + 5 < 11 → 2x < 11 — 5 → 2x < 6

• Делим обе части на число перед x.

  • Если число положительное, знак неравенства не меняется: 2x < 6 → x < 6 ÷ 2 → x < 3

  • Если число отрицательное, знак меняется: -3x > 9 → x < 9 ÷ (-3) → x < -3
    ⚠️ Запомни: При делении на отрицательное число знак неравенства меняется!

3. Что такое квадратное неравенство? 🔍

Квадратное неравенство — это выражение, где переменная возводится в квадрат, и оно сравнивается с числом с помощью тех же знаков (>, <, ≥, ≤).
Примеры:

• x² — 9 > 0

• x² + 2x — 3 ≤ 0
  ✨ Решение — это значения x, при которых выражение положительное или отрицательное, в зависимости от знака.

4. Решение квадратных неравенств 📊

Шаги:

1. Решаем уравнение, поставив «=» вместо знака неравенства (например, x² — 9 = 0).

2. Находим корни (например, x = 3 и x = -3).

3. Разделяем числовую прямую на интервалы с помощью корней.

4. Проверяем, где выражение положительное или отрицательное.
   Пример: x² — 4 > 0

• Решаем: x² — 4 = 0 → x = 2, x = -2

• Разложим: (x — 2)(x + 2)

• Интервалы: x < -2, -2 < x < 2, x > 2

• Проверяем:

  • Для x = -3: (-3 — 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = положительное

  • Для x = 0: (0 — 2)(0 + 2) = (-2)(2) = отрицательное

  • Для x = 3: (3 — 2)(3 + 2) = (1)(5) = положительное

• Нам нужно > 0, то есть x < -2 или x > 2.

5. Показ решений на числовой прямой 📈

• Для линейных неравенств: ставим точку на числе (например, x = 3), пустой кружок для «>» или «<«, закрашенный для «≥» или «≤», и рисуем стрелку.

• Для квадратных неравенств: ставим точки на корнях (например, x = -2 и x = 2), рисуем стрелки в нужных интервалах.
  Пример: Для x < -2 или x > 2 — пустые кружки на -2 и 2, стрелки влево от -2 и вправо от 2.

6. Проверка решений ✅

Подставляем число из ответа:

• Для линейного: 2x + 5 < 11, x = 2 → 2 × 2 + 5 = 9, а 9 < 11 — верно! 😊

• Для квадратного: x² — 4 > 0, x = 3 → 3² — 4 = 5, а 5 > 0 — верно!

7. Зачем это нужно? 🚀

Неравенства помогают в жизни:

• Сколько денег можно потратить, чтобы не выйти за бюджет? 💸

• Какие размеры коробки подойдут, чтобы площадь была больше заданной? 📦