Сложение и умножение вероятностей

Тема урока: Сложение и умножение вероятностей 📚

Цели урока 🎯

• Понять, когда вероятности складываются 🧠

• Освоить умножение вероятностей независимых событий 🔢

• Научиться решать задачи «хотя бы один» через противоположное событие 🎯

Основная часть урока 📝

1. Несовместные события и сложение ➕

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно. Для них работает теорема сложения: P(A или B) = P(A) + P(B).
✨ Важно: если события могут произойти вместе (совместные), формула сложнее: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B) — иначе пересечение посчитается дважды.

2. Независимые события и умножение ✖

События независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого (два разных стрелка, два броска монеты). Теорема умножения: P(A и B) = P(A) · P(B).
Словесные маркеры: «или» — думай про сложение, «и» (оба, одновременно) — про умножение.

3. Пример 1: одно из двух чисел 🛠

Какова вероятность, что на кубике выпадет единица или шестёрка?

1. Проверяем совместность: единица и шестёрка вместе выпасть не могут — события несовместны.

2. Складываем: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

3. Ответ: 1/3.
   Проверка напрямую: благоприятных исходов 2 из 6, то есть 2/6 = 1/3 ✓.

4. Пример 2: два стрелка 🎯

Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8, второй — с вероятностью 0,7. Каждый делает по одному выстрелу, выстрелы независимы.

1. Оба попали: P = 0,8 · 0,7 = 0,56.

2. Хотя бы один попал: идём от противоположного. Оба промахнулись: P = 0,2 · 0,3 = 0,06. Тогда «хотя бы один» = 1 − 0,06 = 0,94.

3. Ответ: 0,56 и 0,94.
   Проверка: четыре варианта исхода: оба попали 0,56; только первый 0,8 · 0,3 = 0,24; только второй 0,2 · 0,7 = 0,14; оба промахнулись 0,06. Сумма: 0,56 + 0,24 + 0,14 + 0,06 = 1 ✓, а 0,56 + 0,24 + 0,14 = 0,94 ✓.

5. Пример 3: совместные события 🃏

Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность, что это туз или пика?

1. События совместны: туз пик — и туз, и пика одновременно.

2. Считаем: P(туз) = 4/36; P(пика) = 9/36; P(туз пик) = 1/36.

3. Формула: P = 4/36 + 9/36 − 1/36 = 12/36 = 1/3.

4. Ответ: 1/3.
   Проверка прямым счётом: 4 туза плюс 8 пик без туза пик — 12 подходящих карт из 36, то есть 1/3 ✓.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Складывают вероятности совместных событий без вычитания пересечения → ✅ P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).

• ❌ Умножают вероятности зависимых событий как независимые (вытянули карту и не вернули) → ✅ после первого события пересчитай вероятность второго.

• ❌ «Хотя бы один» считают простой суммой вероятностей → ✅ надёжный путь: 1 − P(ни одного).

• ❌ Путают союзы в условии → ✅ «или» — сложение (для несовместных), «и» — умножение (для независимых).

Мини-конспект 📋

• Несовместные события: P(A или B) = P(A) + P(B).

• Совместные события: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).

• Независимые события: P(A и B) = P(A) · P(B).

• «Хотя бы один» = 1 − P(ни одного).

• Сумма вероятностей всех непересекающихся вариантов равна 1 — удобная проверка.

• Маркеры в условии: «или» → сложение, «и» → умножение.

Зачем это нужно? 🚀

• Надёжность техники: вероятность отказа системы из нескольких узлов ⚙

• Оценка шансов команды выиграть серию матчей 🏒

• Медицинская диагностика и прогнозы комбинируют вероятности событий 📊