Свойства числовых неравенств
Тема урока: Свойства числовых неравенств 📚
Цели урока 🎯
Понять, как сравнивают числа через разность 🧠
Выучить свойства неравенств и границы их применения 📋
Научиться оценивать значения выражений по заданным границам 🛠
Основная часть урока 📝
1. Как сравнивают числа? 🤔
По определению a > b, если разность a − b положительна, и a < b, если разность отрицательна. Это определение — главный инструмент доказательств.
Пример 1: сравним 2/3 и 3/5. Разность: 2/3 − 3/5 = 10/15 − 9/15 = 1/15 > 0. Значит, 2/3 > 3/5 ✅
2. Свойства неравенств 📋
Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность).
К обеим частям можно прибавить любое число: из a > b следует a + c > b + c.
Умножение на положительное число сохраняет знак неравенства.
Умножение на отрицательное число меняет знак на противоположный.
Неравенства одного знака можно почленно складывать.
Неравенства с положительными частями можно почленно перемножать.
✨ Важно: вычитать и делить неравенства почленно нельзя!
3. Пример 2: оценка выражения 🛠
Известно, что 2 < x < 5. Оценим 3x + 1.
Умножаем на 3 (положительное — знаки сохраняются): 6 < 3x < 15.
Прибавляем 1 ко всем частям: 7 < 3x + 1 < 16.
Проверка: возьмём x = 3 из промежутка: 3·3 + 1 = 10, и правда 7 < 10 < 16 ✅
4. Пример 3: оценка периметра 🔍
Стороны прямоугольника: 3 < a < 4 и 5 < b < 6 (в сантиметрах). Оценим периметр P = 2(a + b).
Складываем неравенства одного знака: 3 + 5 < a + b < 4 + 6, то есть 8 < a + b < 10.
Умножаем на 2: 16 < P < 20.
Проверка: при a = 3,5 и b = 5,5 периметр 2·9 = 18 — внутри промежутка ✅
5. Пример 4: умножение на отрицательное 📐
Пусть 1 < x < 3. Оценим −2x. Умножаем все части на −2 и переворачиваем оба знака: −2 > −2x > −6, то есть −6 < −2x < −2.
Проверка: при x = 2 получаем −2·2 = −4, и действительно −6 < −4 < −2 ✅
Типичные ошибки ⚠️
❌ Умножают на отрицательное число и оставляют знак → ✅ знак неравенства обязательно меняется на противоположный.
❌ Почленно вычитают неравенства → ✅ так нельзя: вместо вычитания умножь второе неравенство на −1 и сложи.
❌ Почленно делят неравенства → ✅ деление заменяют умножением на неравенство для обратных величин.
❌ Перемножают почленно неравенства с отрицательными частями → ✅ перемножать можно только при положительных частях.
Тема не даётся? Разберём вместе 🎓
Свойства неравенств кажутся простыми, пока не появляется умножение на минус. На живых онлайн-уроках «Моей школы LS» учитель в малой группе разберёт каждое свойство на примерах и покажет, где прячутся ловушки.
Мини-конспект 📋
a > b означает, что a − b > 0.
Прибавлять число к обеим частям можно всегда.
Умножение на плюс — знак прежний, на минус — знак переворачивается.
Складывать можно неравенства одного знака.
Перемножать — только с положительными частями.
Вычитать и делить почленно нельзя.
Оценка выражения: шаг за шагом применяем свойства ко всем трём частям.
Зачем это нужно? 🚀
Прикидка бюджета: оценить сумму покупки, зная цены «от и до» 💸
Инженерные допуски: деталь годится, если размер в заданных границах 📏
Эти свойства — фундамент решения любых неравенств в следующих уроках 🧩
По определению a > b означает, что разность a − b — положительное число. Именно через разность сравнивают дроби и доказывают неравенства: посчитал a − b, определил знак — получил ответ.
- Умножаем все части на 2: 8 < 2x < 14.
- Вычитаем 3 из всех частей: 5 < 2x − 3 < 11.
- Проверка: при x = 5 значение 2·5 − 3 = 7 лежит между 5 и 11 — верно.
Только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Прибавление и вычитание любого числа, а также умножение на положительное число знак не трогают. Это самое важное правило темы — большинство ошибок именно здесь.
Оцените урок:
