Задачи на движение: рациональные уравнения как модели

Тема урока: Задачи на движение: рациональные уравнения как модели 📚

Цели урока 🎯

• Вспомнить связь скорости, времени и пути 🧠

• Научиться составлять рациональные уравнения по условию задачи 🛠

• Разобрать движение по реке: по течению и против ⛵

Основная часть урока 📝

1. Три величины движения 🤔

Путь S, скорость v и время t связаны формулой S = v·t. Отсюда t = S/v и v = S/t. В задачах чаще всего сравнивают время двух участников или двух поездок — а время это дробь S/v, поэтому и получается рациональное уравнение.
✨ Важно: удобно заполнять мысленную таблицу «скорость — время — путь» для каждого участника движения.

2. Пример 1: пешеход и разница во времени 🛠

Пешеход прошёл 20 км. Если бы он шёл со скоростью на 1 км/ч больше, то потратил бы на 1 ч меньше. Найди его скорость.

1. Обозначаем: скорость x км/ч, x > 0. Реальное время: 20/x ч, время с большей скоростью: 20/(x + 1) ч.

2. Уравнение (разница времени 1 ч): 20/x − 20/(x + 1) = 1.

3. Убираем дроби, умножая на x(x + 1): 20(x + 1) − 20x = x(x + 1), то есть 20 = x² + x.

4. Решаем: x² + x − 20 = 0, D = 1 + 80 = 81, x = (−1 ± 9)/2, корни 4 и −5. Скорость положительна: x = 4.

5. Проверка: 20/4 = 5 ч, 20/5 = 4 ч, разница ровно 1 ч. Ответ: 4 км/ч ✅

3. Пример 2: лодка и течение реки 🔍

Лодка прошла 24 км по течению и 24 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найди собственную скорость лодки.

1. Собственная скорость x км/ч. По течению лодка идёт со скоростью (x + 2) км/ч, против — (x − 2) км/ч. Значит, x > 2.

2. Уравнение по общему времени: 24/(x + 2) + 24/(x − 2) = 5.

3. Умножаем на (x + 2)(x − 2) = x² − 4: 24(x − 2) + 24(x + 2) = 5(x² − 4), то есть 48x = 5x² − 20.

4. 5x² − 48x − 20 = 0: D = 48² + 4·5·20 = 2304 + 400 = 2704 = 52². x = (48 ± 52)/10: корни 10 и −0,4.

5. Подходит только x = 10. Проверка: 24/12 + 24/8 = 2 + 3 = 5 ч. Ответ: 10 км/ч ✅

4. Отбор корней по смыслу 📐

В задачах на движение корень должен пройти два фильтра: скорость положительна, а для движения против течения собственная скорость ещё и больше скорости течения — иначе лодка не сдвинется вперёд. Поэтому корни −5 и −0,4 в наших примерах отброшены сразу.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Путают знаки: по течению пишут (x − 2) → ✅ течение помогает: по течению x + 2, против течения x − 2.

• ❌ Приравнивают времена, хотя в условии дана их разница → ✅ внимательно читать: «на 1 ч меньше» — это вычитание времён.

• ❌ Оставляют в ответе отрицательный корень → ✅ скорость — положительная величина, лишний корень отбрасываем.

• ❌ Нашли x и записали его в ответ, хотя спрашивали время → ✅ вернуться к вопросу задачи и досчитать.

Мини-конспект 📋

• S = v·t, время t = S/v — источник дробей в уравнении.

• Для каждого участника: своя строка «скорость — время — путь».

• «На столько-то меньше/больше времени» — разность времён.

• По течению: v + v_теч, против течения: v − v_теч.

• ОДЗ: скорость больше нуля, против течения v > v_теч.

• Проверять ответ подстановкой в условие, а не в уравнение.

Зачем это нужно? 🚀

• Прикинуть, на сколько быстрее доедешь, если увеличить скорость — та же модель, что в навигаторе 🗺

• Сплавы и походы: расчёт времени на маршрут по реке с течением ⛵

• Задачи на движение — постоянные гости ОГЭ и ЕГЭ по математике 🎯