Понятие квадратного корня из неотрицательного числа
Тема урока: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа 📚
Цели урока 🎯
Понять определение квадратного корня √a 🧠
Научиться вычислять корни из целых чисел, десятичных и обыкновенных дробей 🔢
Различать корень √a и уравнение x² = a ⚖️
Основная часть урока 📝
1. Определение 🤔
Квадратный корень из неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Обозначение: √a. Число под знаком корня называют подкоренным выражением.
√25 = 5, потому что 5 ≥ 0 и 5² = 25.
✨ Важно: √25 ≠ −5, хотя (−5)² тоже равно 25. По определению корень — число неотрицательное.
2. Когда корень существует? 🚦
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя: √(−9) не существует. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
Пример 1. При каких x имеет смысл выражение √(x − 7)?
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x − 7 ≥ 0.
Решим неравенство: x ≥ 7.
Ответ: при x ≥ 7. Проверка: при x = 7 получаем √0 = 0 — корень существует ✅
3. Вычисляем корни 🛠
Пример 2. Вычислим √49, √0,04 и √(9/16).
√49 = 7, так как 7² = 49.
√0,04 = 0,2, так как 0,2² = 0,04.
√(9/16) = 3/4, так как (3/4)² = 9/16.
Проверка: каждый ответ неотрицателен и в квадрате даёт подкоренное число ✅
4. Корень и уравнение x² = a ⚖️
Не путай: у уравнения x² = 36 два корня, а запись √36 обозначает одно число.
Пример 3. Решим уравнение x² = 36.
Ищем все числа, квадрат которых равен 36.
Подходят x = 6 и x = −6: 6² = 36 и (−6)² = 36.
Ответ: x = ±6. Коротко это записывают так: x = ±√36 = ±6.
А вот само число √36 равно 6 — только неотрицательное значение.
5. Выражения с корнями 🧮
Пример 4. Вычислим 3√16 − √81.
√16 = 4, значит 3√16 = 3 · 4 = 12.
√81 = 9.
12 − 9 = 3. Ответ: 3.
Типичные ошибки ⚠️
❌ Пишут √25 = ±5. → ✅ √25 = 5. Знак ± появляется только при решении уравнения x² = 25.
❌ Извлекают корень из отрицательного числа: √(−4) = −2. → ✅ √(−4) не существует: квадрат любого числа неотрицателен.
❌ Считают √0,4 = 0,2. → ✅ 0,2² = 0,04, а не 0,4. Верно: √0,04 = 0,2.
❌ «Раздают» корень на слагаемые: √(16 + 9) = 4 + 3 = 7. → ✅ Сначала сложи под корнем: √(16 + 9) = √25 = 5.
Хочешь понимать, а не зубрить? 🎓
Корни — тема, где зубрёжка не спасает: нужно понять определение. В онлайн-школе «Моя школа LS» учитель на живом уроке в малой группе объяснит, почему √25 — это именно 5, и научит обходить ловушки.
Мини-конспект 📋
√a — неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Корень существует только при a ≥ 0.
√25 = 5, а не ±5.
Уравнение x² = a при a > 0 имеет два корня: x = ±√a.
Проверяй корень возведением в квадрат: √0,04 = 0,2, потому что 0,2² = 0,04.
(√a)² = a при a ≥ 0.
Зачем это нужно? 🚀
Найти сторону квадратной комнаты по площади: 16 м² → сторона 4 м 📐
Корни нужны в теореме Пифагора при расчёте расстояний 📏
Формулы физики, например для времени падения тела, содержат квадратные корни ⏱
Квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даёт a. Например, √49 = 7, потому что 7² = 49 и 7 ≥ 0.
√25 = 5, значит 2√25 = 10. √0,09 = 0,3, так как 0,3² = 0,09.
Сумма: 10 + 0,3 = 10,3.
Так договорились математики: знак √ обозначает арифметический корень — только неотрицательное значение. Это делает запись однозначной. Оба числа, чей квадрат равен 16, записываются как ±√16 = ±4.
Оцените урок:
