Функция y=√x, её свойства и график

Тема урока: Функция y=√x, её свойства и график 📚

Цели урока 🎯

• Узнать область определения и свойства функции y = √x 🧠

• Научиться строить график по опорным точкам 📈

• Применять график: проверять точки и сравнивать корни 🔍

Основная часть урока 📝

1. Задаём функцию 🤔

Функция y = √x каждому неотрицательному числу x ставит в соответствие квадратный корень из него. Область определения — x ≥ 0: под корнем не может стоять отрицательное число. Сам корень тоже неотрицателен, поэтому все значения функции y ≥ 0.

2. Строим график 📈

Пример 1. Составим таблицу удобных точек и построим график.

1. Берём значения x, из которых корень извлекается нацело: x = 0; 1; 4; 9.

2. Считаем y: √0 = 0; √1 = 1; √4 = 2; √9 = 3.

3. Отмечаем точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) и соединяем плавной линией.

4. Получаем ветвь, выходящую из начала координат вправо-вверх. Это половина параболы, «лежащей на боку».

✨ Важно: график целиком лежит в первой координатной четверти (плюс точка (0; 0)) — левее нуля функция не определена.

3. Свойства функции 🧾

• Область определения: x ≥ 0.

• Область значений: y ≥ 0.

• Функция возрастает: чем больше x, тем больше √x.

• Наименьшее значение — 0 при x = 0; наибольшего значения нет.

4. Проверяем точки 🛠

Пример 2. Принадлежат ли графику точки A(16; 4) и B(25; −5)?

1. Точка A: подставим x = 16: √16 = 4. Значение совпало с ординатой, A принадлежит графику.

2. Точка B: √25 = 5 ≠ −5. К тому же y = √x не бывает отрицательным.

3. Ответ: A — принадлежит, B — нет.

5. Сравниваем корни и решаем уравнения 🔍

Пример 3. Сравним √7 и √11, затем решим уравнение √x = 3.

1. Функция y = √x возрастает, а 7 < 11, значит √7 < √11.

2. Уравнение √x = 3: возведём обе части в квадрат: x = 9.

3. Проверка: √9 = 3 ✅ Графически это точка пересечения графика y = √x с прямой y = 3.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Продолжают график влево от нуля. → ✅ При x < 0 функция не определена — график начинается в точке (0; 0).

• ❌ Соединяют опорные точки ломаной из отрезков. → ✅ График — плавная кривая.

• ❌ Берут неудобные точки (x = 2, x = 3) и отмечают корни «на глаз». → ✅ Для построения выбирай x = 0, 1, 4, 9, 16.

• ❌ Считают, что y может быть отрицательным. → ✅ Область значений функции: y ≥ 0.

Мини-конспект 📋

• y = √x определена при x ≥ 0, все значения y ≥ 0.

• Опорные точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

• График — ветвь «лежащей на боку» параболы в первой четверти.

• Функция возрастает на всей области определения.

• Больше x — больше √x: так сравнивают корни.

• √x = a при a ≥ 0 означает x = a².

Зачем это нужно? 🚀

• По площади квадрата график мгновенно даёт длину стороны 📐

• В физике период колебаний маятника зависит от длины по «корневому» закону ⏱

• Чтение графиков — навык для ОГЭ и для анализа любых данных 📊