Функция y=kx², её свойства и график

Тема урока: Функция y=kx², её свойства и график 📚

Цели урока 🎯

• Научиться строить параболу y = kx² по таблице значений 📈

• Понять, как знак и величина k меняют график 🧠

• Уметь проверять точку и находить k по точке графика 🛠

Основная часть урока 📝

1. Знакомимся с функцией 🤔

Функция y = kx², где k ≠ 0, — простейшая квадратичная функция. Её график — парабола: плавная симметричная кривая с вершиной в начале координат, точке (0; 0).

2. Строим график по таблице 🛠

Пример 1. Построим y = 2x².

1. Считаем значения: при x = -2 будет y = 2 · (-2)² = 2 · 4 = 8; при x = -1 будет y = 2; при x = 0 будет y = 0; при x = 1 будет y = 2; при x = 2 будет y = 8.

2. Отмечаем точки (-2; 8), (-1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8) и соединяем плавной линией.

3. Проверка симметрии: значения при x = 2 и x = -2 совпали — так и должно быть.

3. Как коэффициент k влияет на график 🔍

• k > 0 — ветви направлены вверх, все значения y ≥ 0.

• k < 0 — ветви направлены вниз, все значения y ≤ 0: график y = -x² — «перевёрнутая» парабола.

• Чем больше |k|, тем «уже» парабола: при одном и том же x точка y = 3x² лежит выше точки y = x². График y = 0,5x² — шире.

4. Точка на графике и поиск k 📌

Пример 2. Принадлежит ли точка A(-3; 18) графику y = 2x²?

1. Подставляем x = -3: y = 2 · (-3)² = 2 · 9 = 18.

2. Получили 18 — ровно ордината точки A. Ответ: да, принадлежит.

Пример 3. График y = kx² проходит через точку (2; 12). Найди k.

1. Подставляем координаты: 12 = k · 2², то есть 12 = 4k.

2. k = 12 : 4 = 3.

3. Проверка: y = 3 · 2² = 12 — верно. Ответ: k = 3.

5. Свойства функции y = kx² 📊

• Область определения — все действительные числа.

• График симметричен относительно оси y: точки с x и -x имеют одинаковый y.

• При k > 0 наименьшее значение y = 0 достигается в вершине; при k < 0 там наибольшее значение.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Считать (-3)² = -9 → ✅ квадрат отрицательного числа положителен: (-3)² = 9, поэтому парабола симметрична.

• ❌ Думать, что при большем k парабола шире → ✅ наоборот: чем больше |k|, тем круче и «уже» график.

• ❌ Соединять точки ломаной линией → ✅ парабола — плавная кривая без углов, особенно возле вершины.

• ❌ Рисовать вершину не в нуле → ✅ у функции y = kx² вершина всегда в точке (0; 0).

Мини-конспект 📋

• График y = kx² — парабола с вершиной в точке (0; 0).

• k > 0 — ветви вверх, k < 0 — ветви вниз.

• Чем больше |k|, тем уже парабола.

• График симметричен относительно оси y.

• Точка принадлежит графику, если её координаты превращают формулу в верное равенство.

• Коэффициент по точке: k = y/x² при x ≠ 0.

Зачем это нужно? 🚀

• Мяч, брошенный вперёд, и струя фонтана летят по параболе ⚽

• Спутниковые антенны и фары делают параболической формы — она собирает лучи в одну точку 📡

• Эта функция — трамплин к теме y = ax² + bx + c, главной в 8–9 классах 📈