Системы уравнений с двумя переменными

Тема урока: Системы уравнений с двумя переменными 📚

Цели урока 🎯

• Понять, что называется решением системы уравнений 🧠

• Повторить методы подстановки и сложения 🛠

• Научиться решать системы, где одно уравнение второй степени 🔢

Основная часть урока 📝

1. Что такое система и её решение? 🤔

Система — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решение системы с двумя переменными — пара чисел (x; y), которая превращает каждое уравнение в верное равенство. Решить систему — найти все такие пары или показать, что их нет.
✨ Важно: пара записывается в строгом порядке — сначала x, потом y.

2. Пример 1: метод сложения 🛠

Решим систему: x + y = 7 и x − y = 3.

1. Складываем уравнения: (x + y) + (x − y) = 7 + 3, y исчезает: 2x = 10.

2. x = 5. Подставляем в первое уравнение: 5 + y = 7, значит y = 2.

3. Проверка в обоих уравнениях: 5 + 2 = 7 ✅ и 5 − 2 = 3 ✅. Ответ: (5; 2).

3. Пример 2: метод подстановки 🔍

Решим систему: x − y = 2 и x·y = 15.

1. Выражаем из первого уравнения: x = y + 2.

2. Подставляем во второе: (y + 2)·y = 15, то есть y² + 2y − 15 = 0.

3. Решаем: D = 4 + 60 = 64, y = (−2 ± 8)/2, корни y = 3 и y = −5.

4. Возвращаемся к x: при y = 3 получаем x = 5; при y = −5 получаем x = −3.

5. Проверка: 5 − 3 = 2, 5·3 = 15 ✅ и −3 − (−5) = 2, (−3)·(−5) = 15 ✅. Ответ: (5; 3) и (−3; −5).

4. Пример 3: система с суммой квадратов 📐

Решим систему: x + y = 5 и x² + y² = 13.

1. Из первого уравнения: y = 5 − x.

2. Подставляем: x² + (5 − x)² = 13, раскрываем: x² + 25 − 10x + x² = 13.

3. 2x² − 10x + 12 = 0, делим на 2: x² − 5x + 6 = 0, корни x = 2 и x = 3.

4. Тогда y = 3 и y = 2 соответственно. Ответ: (2; 3) и (3; 2).

5. Проверка: 2 + 3 = 5 и 2² + 3² = 4 + 9 = 13 — обе пары подходят ✅

5. Какой метод выбирать? ✅

Если переменная в одном из уравнений легко выражается — бери подстановку: она работает всегда, в том числе с уравнениями второй степени. Сложение удобно, когда коэффициенты при одной переменной противоположны или легко такими делаются.

Типичные ошибки ⚠️

• ❌ Находят x и забывают найти y → ✅ решение системы — пара чисел, а не одно число.

• ❌ Теряют второй корень квадратного уравнения и вторую пару → ✅ довести до ответа каждый корень.

• ❌ Проверяют пару только в одном уравнении → ✅ подставлять в оба: пара обязана подходить везде.

• ❌ Путают порядок и пишут (3; 5) вместо (5; 3) → ✅ первым всегда идёт значение x.

Мини-конспект 📋

• Решение системы — пара (x; y), верная для всех уравнений сразу.

• Подстановка: выразить переменную из одного уравнения и подставить в другое.

• Сложение: сложить уравнения так, чтобы одна переменная исчезла.

• С уравнением второй степени работает подстановка из линейного уравнения.

• Два корня квадратного уравнения — обычно две пары в ответе.

• Проверка каждой пары — в обоих уравнениях системы.

Зачем это нужно? 🚀

• Задачи с двумя неизвестными — цены двух товаров, возрасты, размеры — решаются именно системами 🛒

• Точка пересечения двух графиков находится как решение системы 📈

• В старших классах системы появятся в геометрии, физике и экономике 🧩